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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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一个美妙的数字宝塔揭秘  

2013-07-19 16:04:13|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第八章 数码与9的魔术)

数字宝塔,既美妙动人,又神秘莫测。

以下面的这个数字宝塔为例:

1×9+2=11

12×9+3=111

123×9+4=1111

1234×9+5=11111

12345×9+6=111111

123456×9+7=1111111

1234567×9+8=11111111

12345678×9+9=111111111

123456789×9+10=1111111111

每层的基本结构相同,都是a×b+c=d。因数a从上到下,数位不断增加,数字顺序却保持不变;因数b从上到下,位置不断在变,大小却保持不变。而且,“9”在我们中国人的心目中,更是一个充满神秘感的数。九洲、九霄、九泉、九龙……令人浮想联翩;加数c从上到下,大小在变,变化规律却保持不变;得数d从上到下,数位不断增加,数字却保持不变。凡此种种,真称得上是动中有静,静中有动,动静结合,美轮美奂。

当然,从数学的角度考虑,还是要探寻形成这座数字宝塔的规律究竟是什么。那么,怎样才能发现其中的规律呢?

其实,只要想到“十进制记数法”,一切便迎刃而解了。

让我们把等式左边的一般项写作

  (10n-1+2×10n-2+3×10n-3+…+n)×(10-1)+(n+1)。

再把括号乘开并化简,就得到:

   (10n-1+2×10n-2+3×10n-3+…+n)×(10-1)+(n+1)

(10n-1+2×10n-2+3×10n-3+…+n)×10-(10n-1+2×10n-2+3×10n-3+…+n)+(n+1)

=10n+2×10n-1+3×10n-2+…+10n-10n-1-2×10n-2-3×10n-3-…-n)+(n+1)

=10n10n-110n-2+…+10n+1

如果用普通的写法,不就是1重复出现(n+1)次吗?

这正是:

  众里寻他千百度蓦然回首,那人却在灯火阑珊处

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