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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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费马小定理与循环小数  

2013-07-28 10:12:10|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第十章 循环到无穷)

我们知道,如果某个整数的倒数,可以表达为有限小数,其必要条件是该整数只含有2,5的方幂,或者兼而有之。否则,将出现循环小数。

研究循环小数,就要掌握循环节的规律。对此,费马小定理10p-1≡1 mod p,发挥了重要作用。要求一个质数p的倒数,就要用p去除10p-1。例如,要求质数7的倒数,就要用7去除106

不过,有时10的指数可能小于p-1,此时,10e≡1 mod p。这种较小的指数e,一定是p-1的因子;如果e是给出余数1的最小指数,则e还表示,p的倒数表示为小数时,其循环节有e位。

例如,由费马小定理,102≡1 mod 3,但是,较小的指数1即可满足101≡1 mod 3,p-1=3-1=2,1是2的因子,1/3在化成小数时,循环节有一位。事实上,1/3=0.333…。

再如,102≡1 mod 11,p-1=11-1=10,e=2,2是10的因子,1/11在化成小数时,循环节有两位。事实上,1/11=0.0909…。

再如,106≡1 mod 13,p-1=13-1=12,e=6,6是12的因数,1/13在化成小数时,循环节有六位。事实上,1/13=0.076923079623…。

如果,10的指数必须取p-1,如106≡1 mod 7,此时,小于6的指数不能使同余式成立。所以,1/7的循环节有六位。实际上1/7=0.142857142857…。

再如,1016≡1 mod 17,此时,小于16的指数不能使同余式成立,所以,1/17的循环节有16位。实际上1/17=0.05882352941176470588235294117647…

像这样,如果对于质数p,10的指数必须取p-1,就说10是p的一个“原根”。6就是质数7的一个原根;16就是质数17的一个原根。对于100以内的质数来说,10还是19,23,47,59,61,97的原根。

对于以10为原根的一切质数,其倒数的循环节为偶数位,并且还有两个奇妙性质:

性质一:1/p的整数倍,其循环节只是1/p的循环节数字的重新轮转;

性质二:循环节可以拦腰分成两段,两段对应数字之和都是9。

以质数7为例:

1/7=0.142857142857…循环节是142 857。1+8=9,4+5=9,2+7=9;

2/7=0.285714285714…循环节是285 714。2+7=7,8+1=9,5+4=9;

3/7=0.428571428571…循环节是428 571。4+5=9,2+7=9,8+1=9;

4/7=0.571428571428…循环节是571 428。5+4=9,7+2=9.1+8=9;

5/7=0.714285714285…循环节是714 285。7+2=9,1+8=9,4+5=9;

6/7=0.857142857142…循环节是857 142。8+1=9,5+4=9,7+2=9。

对于不以10为原根的质数,只要循环节是偶数位,性质二也成立;至于合数的倒数,即使其循环节由偶数个数字组成,也未必具有性质二这种循环节的互补性。

每个循环小数,不论它的循环节有多长,都是一个有理数,都可以表示为两个整数之商,即一个分数。要求出这个分数,可以按以下方法进行:

设A=0.076923076923…,循环节有六位。于是106A=76923.076923…。两边减去原数,得999999A=76923。所以A=76923/999999=1/13。

再如,设A=0.0731707317…,循环节有五位。于是105A=7317.07317…。两边减去原数,得99999A=7317。所以A=7317/99999=3/41。

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