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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

方格纸的启示  

2013-10-02 08:30:35|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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如果用方格纸的每个方格表示1,用方格纸就可以探究一些数列求和的规律。

为了便于叙述,用Sn表示数列从第1项到第n项的和。

一、从第1行开始,把1个方格涂成灰色,接着,依次在第2行、第3行……第9行,分别把2个方格、3个方格……9个方格,涂成灰色(如图):

方格纸的启示 - 老骥 - 周靖国的博客

  观察发现:“灰色台阶形”所表示的数,是自然数列1,2,3,4,5,6,7,8,9的和。“白色台阶形”所表示的数,是自然数列9,8,7,6,5,4,3,2,1的和,

这两个台阶形所组成的长方形,共有9行,1+9=10列,所表示的数是(1+9)×9。

于是,一个“阶梯形”所表示的数是:

     1+2+3+4+5+6+7+8+9=(1+9)×9÷2。

推而广之,就得到求从1开始到n的连续自然数之和的公式:

Sn=n(n+1)÷2。

二、如果按照下图的样子对方格进行划分:

方格纸的启示 - 老骥 - 周靖国的博客

观察发现:从左上方到右下方,各部分小方格所表示的数,依次是1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,即,从1开始的连续奇数。如果从左上方到右下方,逐次把所分成的各部分组合起来,每次组合都得到一个正方形。于是,

  1+3=22

  1+3+5=32

  1+3+5+7=42

  1+3+5+7+9=52

  1+3+5+7+9+11=62

  1+3+5+7+9+11+13=72

  1+3+5+7+9+11+13+15=82

  1+3+5+7+9+11+13+15+17=92

  1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102

推而广之,就得到求从1开始的连续n个奇数之和的公式:

Sn=n2

三、如果按照下图的样子对方格进行划分:

方格纸的启示 - 老骥 - 周靖国的博客

观察发现:从左上方到右下方,各部分小方格所表示的数,依次是2,4,6,8,10,12,14,16,18。如果从左上方到右下方,逐次把所分成的各部分组合起来,每次组合都得到一个长方形。于是,

  2+4=2×3

  2+4+6=3×4,

  2+4+6+8=4×5,

  2+4+6+8+10=5×6,

  2+4+6+8+10+12=6×7,

  2+4+6+8+10+12+14=7×8,

  2+4+6+8+10+12+14+16=8×9,

  2+4+6+8+10+12+14+16+18=9×10。

推而广之,就得到求从2开始的连续n个偶数之和的公式:

Sn=n(n+1)。

四、如果按照下图的样子对方格进行划分:

方格纸的启示 - 老骥 - 周靖国的博客

观察发现:从内到外,各部分小方格所表示的数,依次是4,12,20,28,36。如果从内到外,逐次把所分成的各部分组合起来,每次组合都得到一个正方形。于是,

  4=22

  4+12=42

  4+12+20=62

  4+12+20+28=82

  4+12+20+28+36=102

推而广之,就得到求前面那个公差是8的等差数列之和的公式:

Sn=(2n)2

五、如果按照下图的样子对方格进行划分:

方格纸的启示 - 老骥 - 周靖国的博客

观察发现:从内到外,各部分小方格所表示的数依次是1,8,16,24,32。如果从内到外,逐次把所分成的各部分组合起来,每次组合都得到一个正方形。于是,

  1=12

  1+8=32

  1+8+16=52

  1+8+16+24=72

  1+8+16+24+32=92

  推而广之,就得到求上面那个第1项是1,从第2项开始是公差为8的等差数列之和公式:

  Sn=(2n-1)2

    没想到吧,普普通通的方格纸,竟然可以推演出这么多数学公式!有兴趣的网友,充分发挥你的想像力,也来探索创造一番如何?

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