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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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多重完全数  

2013-08-03 08:15:39|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第三章 完美无缺

我们知道,完全数是指那些真因数之和等于它自身的数,如6,28等等。当然,如果把因数的范围扩展到包括这个数自身,那么,完全数的所有因数之和就等于它自身的2倍。

沿着这个思路下去:有没有这样的数,它的所有因数(包括这个数自身)是它的3倍、4倍、5倍……呢?有。这样的数就叫做“多重完全数”。这样一来,通常所说的完全数,自然也就可以称为“二重完全数”了。

下面举两个三重完全数的例子:

例如120。

120=23×3×5。它有(3+1)(1+1)(1+1)=4×2×2=16个因数,分别是:1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120。所有因数之和是

1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120=360。

360是120的3倍。

再如672。

672=25×3×7。它有(5+1)(1+1)(1+1)=24个因数,分别是:1,2,3,4,6,7,8,12,14,16,21,24,28,32,42,48,56,84,96,112,168,224,336,672。所有因数之和是

1+2+3+4+6+7+8+12+14+16+21+24+28+32+42+48+56+84+96+112+168+224+336+672=2016。

2016是672的3倍。

四重完全数的例子有30240。

30240=25×33×5×7。它有(5+1)(3+1)(1+1)(1+1)=96个因数,不再一一列举。所有因数之和是30240的4倍。

五重完全数的例子有14182439040。

14182439040=27×34×5×7×112×17×19。它有(7+1)(4+1)(1+1)(1+1)(2+1)(1+1)(1+1)=1920个因数,很难一一列举。所有因数之和是14182439040的5倍。

还有六重完全数、七重完全数等等。可以想像,这些多重完全数将会是怎样一种复杂的状况!

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