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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

循环小数奇妙性质揭秘  

2013-10-09 16:18:20|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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  前面,在“我和循环小数”一文中,谈了我和循环小数的一段渊缘循环小数是我爱上数学的主要诱因之一。此前我已经写过文,介绍循环小数的许多妙性质。其中一个性质谈到:某些循环小数循环节的位数是偶数,如果把循环节分成位数相等的两段,对应数字的和总是9。比如

1/7化成循环小数后,循环节“142857”6位,如果分成“142”和“857”两段,1+8=9,4+5=9,2+7=9;

1/23化成循环小数后,循环节“0434782608695652173913”22位,如果分成“04347826086”和“95652173913”两段,0+9=9,4+5=9,3+6=9,4+5=9,7+2=9,8+1=9,2+7=9,6+3=9,0+9=9,8+1=9,6+3=9。

这类循环小数是由分母是质数的分数形成的。循环小数的这个妙性质,困惑了我很长时间,百思不得其解。后来,从任现淼先生编著的《趣味数学365》书中,看到了这条性质的一个证明,真是喜出望外。不过先生的文章写得过于精炼看起来非常吃力。下面,我根据自己的理解,作了一些必要的解释和补充,奉献给有兴趣的网友共享。

证明的基本思路是把循环小数看作无穷等比数列的和。为此,让我们先来复习一下等比数列的求和公式:

设等比数列的首项是a,公比是q。等比数列前n项的和Sna(1-qn)/(1-q)。对于q<1的无穷等比数列来说,由于qn趋于0,所以,无穷等比数列的和

S=a/(1-q)。    (1)

下面分四步来证明循环小数的这一奇妙性质:

第一步:

设分数n/p的分母p是质数(n是整数并且小于p),化成循环小数后的循环节为2s位,前半个循环节为A,后半个循环节为B。于是

  n/p=0.ABAB…=0.AB+0.AB×1/102s+0.AB×(1/102s)2+…

这个无穷等比数列的首项a=0.AB,公比q=1/102s<1。

因为0.A是s位小数,0.AB是2s位小数,所以a=0.AB=A/10s+B/102s。于是

n/p=(A/10s+B/102s)/(1-1/102s)。    (2)

这里作一个说明:为了录入的方便,分数采用了横写形式。如果分子或分母不止一项,就添上括号。

102s同时(2)式右端分数的分子、分母,得n/p=(A×10s+B)/(102s-1)。把分母中的1看作12,按照平方差公式分解因式,得

n/p=(A×10s+B)/[(10s+1)×(10s-1)]。    (3)

因为(3)式分数的分子、分母都是整数,并且p是质数不能分解,所以,端分数分母的两个因式中,至少有一个能被p整除。

假设10s-1能被p整除,于是10s-1=kp(k为整数),p=(10s-1)/k,n/p=n÷(10s-1)/k =kn/(10s-1)。把kn/(10s-1)的分子、分母同时除以10sn/p=(kn÷10s)/[(10s-1)÷10s],即

n/p=kn/10s×10s/(10s-1)。    (4)

第二步:(这一步非常巧妙又至关重要)

(4)式右边第二个分数10s/(10s-1)的分子、分母同时除以10s

1/(1-1/10s)。

对照无穷等比数列的公式(1),如果把上式中的分子1作某个无穷等比数列的首项,把1/10s数列的公比,这个无穷等比数列就是

1+1/10s+1/102s+…。

于是(4)式就变成

n/p=kn/10s×(1+1/10s+1/102s+…)。

可是,1+1/10s+1/102s+…的循环节只有s位,因此n/p的循环节只有s位,与原设n/p的循环节为2s位相矛盾。所以10s-1不能被p整除,只能是10s+1能被p整除

第三步:

回到前面的式(3),n/p=(A×10s+B)/[(10s+1)×(10s-1)]。两端同时乘以(10s+1),得

n/p×(10s+1)=(A×10s+B)/(10s-1)

(A×10s+B)进行等值变换:从10s个A里面取出1个A放到后面,得[(A×(10s1)(A+B)]于是n/p×(10s+1)=[A×(10s-1)+(A+B)]/(10s-1)=A+(A+B)/(10s-1),即

n/p×(10s+1)=A+(A+B)/(10s-1)。    (5)

第四步:

因为10s+1能被p整除,所以式(5)左端的n/p×(10s+1)是整数,于是右端的A+(A+B)/(10s-1)也是整数,A是整数,(A+B)/(10s-1)自然也是整数。

A、B是一位数时,s=1,101-19;

A、B是两位数时,s=2,102-199;

A、B是三位数时,s=3,103-1999;

……

可见A、B都不大于10s-1(A+B)/(10s-1)就只能等于1而10s-1等于99…9(s个9),于是A+B也只能等于99…9(s个9)。

证完。

从以上证明的过程,使我们再一次认识到,灵活运用知识的重要性,同时,也再一次感受到数学知识的无比精妙。

最后,不无歉意的是:由于文中的分数采用了横写形式,可能会给阅读带来一些不便,请网友们谅解!

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