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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

考验一下你的思维能力  

2014-01-05 15:06:05|  分类: 数学应用 |  标签: |举报 |字号 订阅

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发现规律、掌握规律、运用规律,是学习数学的一个重要方法。而发现规律,往往要从试验入手,通过对所取得的数据,进行观察、对比、归纳、猜想,从而获得某种“初步规律”。数学中的许多定律、性质、公式,就是通过这样的试验、观察和思考而获得的。当然,由此得到的“初步规律”,是否能够成为真正的规律,还需要进一步的证明。但是,观察、对比、归纳、猜想所起的作用,无疑是非常明显的,也是十分重要的。

下面就来做一个这样的练习,考验一下你的“观察、对比、归纳、猜想”能力。

这里有一个算式:(2p-2)÷p,式中,p为大于1的整数。下面是一些试验数据: 

P=2,22-2=4-2=2,2÷2=1;

P=3,23-2=8-2=6,6÷3=2;

P=4,24-2=16-2=14,14÷3,不能整除;

P=5,25-2=32-2=30,30÷5=6;

P=6,26-2=64-2=62,62÷6,不能整除;

P=7,27-2=128-2=126,126÷7=18;

P=8,28-2=256-2=254,254÷8,不能整除;

P=9,29-2=512-2=510,510÷9,不能整除;

P=10,210-2=1024-2=1022,1022÷10,不能整除;

P=11,211-2=2048-2=2046,2046÷11=186;

P=12,212-2=4096-2=4094,4094÷12,不能整除;

P=13,213-2=8192-2=8190,8190÷13=630。

经过你的观察和思考,有什么“发现”?

如果,你觉得材料还不够充分的话,请接着往下看:

P=14,214-2=16384-2=16382,16382÷14,不能整除;

P=15,215-2=32768-2=32766,32766÷15,不能整除;

P=16,216-2=65536-2=65534,65534÷16,不能整除;

P=17,217-2=131072-2=131070,131070÷17=7710;

P=18,218-2=262144-2=262142,262142÷18,不能整除;

P=19,219-2=524288-2=524286,524286÷19=27594;

P=20,220-2=1048576-2=1048574,1048574÷20,不能整除。

现在,你有什么“发现”?

你是否发现,当p为质数时,2p-2能被p整除?

事实正是这样。据说,我国早在两千多年前就发现了这个规律,后来,被号称“业余数学王子”的费马所证明。并且,在此基础上,所形成的“费马小定理”,在数论中具有非常重要的地位,被看成是数论大厦的一块基石。

这个练习给我们一个启示:

试验是学习数学的重要手段之一,要养成认真观察、细心对比、精心归纳,大胆猜想的习惯。这样,才会在不断的试验、观察和思考中,有所发现,有所前进。

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