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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

一道非常有启发性的题目  

2014-02-07 17:41:34|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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这里给网友们介绍一道既不难,又有趣,又非常有启发性的题目:

有5个圆,半径分别是7厘米、5厘米、4厘米、2厘米、2厘米。如果让4个较小的圆,分别与最大的圆部分重叠(如图):

一道非常有启发性的题目 - 老骥 - 周靖国的博客

  怎样才能使4个小圆未与大圆重叠的部分(灰色)的总面积,与大圆未与4个小圆重叠的部分(黑色)的面积相等?

这道题目,按照通常的解题思路,简直无从下手。因为4个小圆与大圆部分重叠的情况有无穷多种,每种重叠情况的条件又无从说起,根本不可能计算出每种重叠的面积。这就说明,计算重叠面积这条思路行不通,必须打破常规另辟蹊径,看看能不能找到别的出路。

那就从最根本处入手,先把这5个圆的面积计算出来再说。

从大到小,5个圆的面积分别是,49π平方厘米、25π平方厘米、16π平方厘米、4π平方厘米、4π平方厘米

既然是4个小圆与大圆部分重叠,那就再算一下4个小圆的总面积是多少。

        25π+16π+4π+4π=49π(平方厘米)

没想到,原来4个小圆的总面积正好等于大圆的面积。这种情况是纯属巧合还是另有原因?让我们把目光重新回到题目上,对照图形,再认真看看,仔细想想……

题目的要求是:怎样才能使4个小圆未与大圆重叠的部分(灰色)的总面积,与大圆未与4个小圆重叠的部分(黑色)的面积相等?

既然由于情况复杂和缺少必要的条件,灰色部分和黑色部分的面积无法计算,那就把目光转向白色部分,看看情况如何。

白色部分是大圆与小圆重叠而形成的,所以,每块白色部分的面积,既是大圆减少的面积,也是那个小圆减少的面积。这个发现使头脑一下子豁然开朗……

图中,黑色部分的面积,是大圆剩下的面积;灰色部分的面积,是4个小圆剩下的面积。既然,“4个小圆的总面积正好等于大圆的面积”,而“每块白色部分的面积,既是大圆减少的面积,也是那个小圆减少的面积”,所以,无论4个小圆怎样分别与大圆部分重叠,两个等量相减,4个小圆未与大圆重叠的(灰色)部分面积的总和,与大圆未与4个小圆重叠的(黑色)部分的面积,总是相等。这不就是题目的答案吗?

原来如此!这真是:

山重水复疑无路,柳暗花明又一村;

踏破铁鞋无觅处,得来全不费功夫。

从这道题目的解答过程,我们可以得到什么启发呢?

得到的启发就是:变换思路的重要性。

当所遇到的问题初看起来非常复杂,甚至可以说是走投无路的时候,绝不能一条道走到黑,往往很可能还存在一条非同寻常的路径。关键是看你有没有勇气、耐心和智慧,锲而不舍地去探索,去发现。

科学无坦途,只要肯登攀。不放弃,不抛弃,不服输,不言败,就能绝处逢生,实现超越。解题如此,生活又何尝不如此。这也可以说是这道题目给予我们的尤为重要的启示!

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