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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

求连续自然数平方和的公式还能这样推导  

2014-03-16 14:02:02|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面在“有趣的图形数”“求连续自然数方和的公式”两文中,曾经用图形法列表法,巧妙地推出过求连续自然数平方和的公式:

      12+22+32…+n2n(n+1)(2n+1)]/6

这里用一种比较正规又很好理解的方法,推导一下这个公式。

由恒等式

      (n+1)3=n3+3n2+3n+1

可得

      (n+1)3-n3=3n2+3n+1

n=1,2,3,…,n,依次写出

      23-13=3·12+3·1+1

      33-23=3·22+3·2+1

      43-33=3·32+3·3+1

      …………

      (n+1)3-n3=3n2+3n+1

等式两端相加,得

      (n+1)3-1=3(12+22+32+…+n2)+3(1+2+3+…n)+n

观察发现:右端两个括号里分别是“从1到n连续自然数的平方和”与“从1到n连续自然数的和”。

如果用S2表示“从1到n连续自然数的平方”,用S1表示“从1到n连续自然数”,那么右端就等于

    3S2+3S1+n

于是

      (n+1)3-1=3S2+3S1+n

因为

      S1=n(n+1)/2

  所以,

       (n+1)3-1=3S2+3n(n+1)/2+n

  于是,

       S2=[(n+1)3-1-3n(n+1)/2-n]/3

        =[n3+3n2+3n+1-1-(3n2+3n)/2-n]/3

              =[n3+3n2+3n-(3n2+3n)/2-n]/3

  右端的分子、分母同时乘以2,

             S2=[2n3+6n2+6n-(3n2+3n)-2n]/6

       =[2n3+6n2+6n-3n2-3n-2n]/6

              =[2n3+3n2+n]/6

              =n[2n2+3n+1]/6

              =n[2n2+2n+n+1]/6

              =n[2n(n+1)+(n+1)]/6

              =n(n+1)(2n+1)]/6

于是

     S2=n(n+1)(2n+1)]/6

       12+22+32…+n2n(n+1)(2n+1)]/6

  是不是很好理解?当然,三种方法各有所长各有所短,这不正是数学的魅力所在吗?

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