注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

求连续自然数立方和的公式还能这样推导  

2014-04-27 07:40:46|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |

前面在“有趣的图形数”“求连续自然数方和的公式”两文中,曾经用图形法列表法,巧妙地推出过求连续自然数方和的公式:

        13+23+33+…+n3[n(n+1)/2]2

这里前面“求连续自然数平方和的公式还能这样推导”文中所使用的方法,推导一下这个公式。

由恒等式

      (n+1)4=n4+4n3+6n2+4n+1

可得

      (n+1)4-n4=4n3+6n2+4n+1

n=1,2,3,…,n,依次写出

      24-14=4·13+6·12+4·1+1

      34-24=4·23+6·22+4·2+1

      44-34=4·33+6·32+4·3+1

       …………

    (n+1)4-n4=4·n3+6·n2+4·n+1

等式两端相加,左端等于(n+1)4-1;

如果用Sn表示“连续自然数n次”,那么右端就等于

    4S3+6S2+4S1+n

于是

      (n+1)4-1=4S3+6S2+4S1+n

因为

    S2=n(n+1)(2n+1)/6

      S1=n(n+1)/2

  所以,

   S3=[(n+1)4-1-6n(n+1)(2n+1)/6-4n(n+1)/2-n]/4

    =[(n+1)4-1-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n]/4

    =[n4+4n3+6n2+4n+1-1-2n3-2n2-n2-n-2n2-2n-n]/4

       =[n4+2n3+n2]/4

    =n2[n2+2n+1]/4

    =n2(n+1)2/4

    =[n(n+1)/2]2

       13+23+33…+n3[n(n+1)/2]2

  看来,这种方法还真的具有一般性,不禁让我们又一次领教了数学的魅力!

  评论这张
 
阅读(91)| 评论(0)
推荐 转载

历史上的今天

在LOFTER的更多文章

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2017