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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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一类“十全数字加法等式”的根源  

2015-04-19 08:25:10|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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10个数字0123456789组成的“十全数字等式”非常稀少,又能满足人们“十全十美”的心理需求,堪称趣味数学中的珍品。下面就来介绍一种这样的“十全数字加法等式”,并且对它的寻找过程,作一些简单的说明。

这种“十全数字加法等式”的形式为:

     abcdefghij  (1) (连写的字母表示多位数)

我们知道,十个数字有一个重要性质,就是它们的和12345678945,是9的倍数,说明十个数字的和能被9整除。下面就从这个重要性质入手:

如果把式中的4个数,依次记作ABCD,于是,

  Aa

  B10bc(bc)9b

  C100d10ef(def)99d9e

  D1000g100h10ij(ghij)999g99h9i

4个等式的两端分别相加,得到

  ABCDa(bc)9b(def)99d9e(ghij)999g99h9i

        =(abcdefghij)9b99d9e999g99h9i

等式右端,10个数字的和是9的倍数,其余各项的系数又都是9的倍数,所以,右端是9的倍数,于是,ABCD也是9的倍数。

不仅如此,如果给(1)式的两端都加上D,得到

  ABCD2D

既然ABCD9的倍数,2D也应该是9的倍数,于是D9的倍数。

现在,让我们来确定一下D的范围:

1、因为算式abcdefghij中的数字都不相同,D是四位数,最小也小不过1023

2、三个加数的和的最大值,出现在百位数d9,两个十位数be87,三个个位数acf65490080706541065,所以,D最大也大不过1065

D9的倍数,最小小不过1023,最大大不过1065,数字还不相同,这四个条件综合起来考虑,D就只能是1026103510531062

经过试算,不难得到下面5个等式:

    3459781026

    4359871026

    2469871035

    2649871053

    3749851062

  而且,只要把上面每个等式中,加数的十位数或者个位数交换一下,还能得到另外一些满足要求的等式。

前面,在“‘九全’或‘十全’数字等式”一文中,曾经介绍过不少由10个数字组成的“十全数字等式”。有兴趣的网友,可以参考上面的方法,来一次追根寻源的探讨,不是也挺有意思吗?

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