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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

从求几十五的平方谈起  

2016-10-26 17:17:01|  分类: 数学应用 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面在“介绍几种常用的速算方法”一文中,曾经提到求“几十五的平方”的方法是:

平方数的千位数和百位数等于这个数的十位数与比十位数大1的数的积,十位数和个位数是25如,75的平方。平方数的千位数和百位数是7×(71)56,十位数和个位数是25,平方数是5625

当时,只是简单地介绍了“怎样做”,而没有谈“为什么能这样做”,以及“还有什么与此相关的问题”。

这里,就再深入地谈谈这些问题。

一、其实,这种方法可以推广到“求所有个位数是5的自然数的平方”。

比如,求1252

125这个数,5前面的数是12,比12大1的数是13,12×13=156,1252就等于在156后面再写上25,是15625。

再如,求37952,5前面的数是379,比379大1的数是380,379×380=144020,37952就等于在144020后面再写上25,是14402025。

依此类推,一个自然数,只要个位数是5,无论前面有多少位,求这个数的平方,都可以这样做。

二、这样做依据是:

一个个位数是5的自然数,如果把5前面的数记作a,这个自然数就是10a+5,于是

  (10a+5)2=100a2+100a+25=100a(a+1)+25

先看a(a+1),不就是“5前面的数与比它大1的数的积嘛,再乘100,正好给后面添上25留下了位置。

三、把事情倒过来看:

1、假如有一个自然数,它的末两位数是25,并且25前面的数恰好是两个相差1的数的积,这个自然数肯定是一个平方数,而且它的平方根就是那两个相差1的因数中,较小的因数后面添个5。

比如,4225,它末两位数是25,并且25前面的数42,恰好是两个相差1的数6和7的积,所以4225肯定是一个平方数,它的平方根,就是6和7中较小的数6后面添个5,是65。

再如,3025,它末两位数是25,并且25前面的数30,恰好是两个相差1的数5和6的积,所以3025肯定是一个平方数,它的平方根,就是5和6中较小的数5后面添个5,是55。

2、我们知道,从2开始的连续n个偶数的和,等于n(n+1)。这不正好是两个相差1的数的积吗?于是,我们可以绝对有把握地说:

n个连续偶数的和,后面添上25,所得的数肯定是个平方数,并且它的平方根就等于n后面添个5。

比如,4个连续偶数的和是4(4+1)=20,所以2025肯定是一个平方数,它的平方根是45。

再如,27个连续偶数的和是27(27+1)=756,所以75625肯定是一个平方数,它的平方根是275。

上面的事例告诉我们:任何一个知识,都有它的来龙去脉,只要从正面、侧面、反面多想一想、钻一钻,就有可能会推演出其他一些有用的东西来。这也算是一种学习方法吧!

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