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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

连续自然数的和与平方数  

2014-05-18 07:18:39|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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我们知道,从1n连续自然数的和

      Sn(n1)/2

n8时,S8×9÷23662,恰好是一个平方数。这种现象是偶然的呢,还是隐藏着什么规律?这倒是一个值得探讨的问题。

让我们来试试看:

如果从1n连续自然数的和恰好是平方数k2,即

      n(n1)/2k2

那么,就会有

      n(n1)2k2

      n2n2k20

根据一元二次方程的求根公式,

              连续自然数的和与平方数 - 老骥 - 周靖国的博客

显然n不能为负数,这就找到了能使从1n连续自然数的和,恰好是平方数k2的条件:18k2的平方根,必须是一个大于或者等于3的奇数。

接下来就要找满足条件的k了。为了叙述方便,不妨把18k2记作p,把p的平方根记作q

怎么找呢?最简单的方法当然是让k1,2,3,…逐一进行计算。这种方法虽然有点笨,不过,用上计算器也就算不什么了。

结果得到:

    k     p       q    n

    1    9        3   1(太简单了)

    2    33(不是平方数)

    3    73(不是平方数)

        4      129(不是平方数)

        5      201(不是平方数)

        6      289         17     8(总算又找到一个)

        7      393(不是平方数)

        8      513(不是平方数)

                 ……

       35     9801         99    49(还真的又找到一个)

让我们停下来想想:k1,6,35满足要求,如果把1,6,353个数分别记作k1,k2,k3的话,k36 k2k1。推而广之,不就是kn6 kn-1kn-2嘛!于是得到数列k

    1,6,35,204,1189,6930,40391,

这样一来,上表就可以接着写下去:

    k          p        q       n

    1          9     3      1

        6            289        17        8

       35           9801        99       49

     204        332929       577      288

         1189       11309769      3363     1681

         6930      384199201     19601    24800

        40391    13051463049    114243    57121

                        ……

终于得到:

            112

     123+…+862

     123+…+49352

    123+…+2882042

     123+…+168111892

    123+…+2480069302

    123+…+57121403912

               ……

没想到,还真的让我们“发现”了,连续自然数的和与平方数之间的规律!

不过,也别高兴得太早!上面在寻找k的取值规律时,用了不完全归纳法。这种做法还是有一定风险的。不过,对于像我们这些根基肤浅的数学爱好者来说,能做到这一步也算可以的了。好在不是还有数学家吗,严密的论证就交给他们去完成吧!


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