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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

连续自然数的积与平方数  

2014-06-08 06:34:07|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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从前面“连续自然数的和与平方数”,又想到连续自然数的积与平方数。

让我们取几个连续自然数的积看看:

  1×2×3×424

  2×3×4×5120

  3×4×5×6360

显然都不是平方数。可是,跟24120360非常接近的数25121361,不都是平方数吗?2552,只比241121112,也只比1201361192,也只比3601

这么说,4个连续自然数的积加1,会不会都是平方数呢!

  让我们再随意取4个比较大的自然数试试:

  21×21×23×2425502425502412550255052

  35×36×37×38177156017715601177156113312

  有门儿!看来,似乎还有普遍性呢,是真的吗?就让我们来探讨一下吧!

4个连续自然数为nn1n2n3。(n为等于或大于1的自然数。)

    n(n1)(n2)(n3)1

   =[n(n1)][(n2)(n3)]1

   =(n2n)(n25n6)1

   =n45n36n2n35n26n1

   =n46n311n26n1

   =n49n216n32n26n

   =(n2)2(3n)2122·n2·3n2·n2·12·3n·1

   =(n23n1)2

    (n1)(n2)(n3)1(n23n1)2

说明任意4个连续自然数的积,再加上1以后,确实是平方数。

比如,100011000210003100044个连续自然数,虽然它们的积加上1,是一个很大很大的数,用一般的计算器都算不出来,可是,我们却能够轻而易举地算出它的平方根是1000123×100011100020001300031100050005

前面,我们探讨连续自然数的和与平方数之间的关系时,用了不完全归纳法,留下点儿遗憾。这次我们用了演绎法,应该是无懈可击了吧,谁还能说我们只是一群肤浅的数学爱好者呢!

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