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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

由8个连续自然数的平方和组成的等式  

2014-12-28 16:34:07|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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下面有3个由一些自然数的平方和组成的等式,很容易验证这些等式的正确性:

    1242627222325282    (等式两边的和都等于102

    2252738233426292    (等式两边的和都等于142

    32628292425272102    (等式两边的和都等于190

观察发现,这3个等式中,都含有8个连续自然数;并且:左端的4个自然数,都是8个自然数中的第一、四、六、七个自然数,右端的4个自然数,都是第二、三、五、八个自然数。

这个发现,引起了我们的兴趣。让我们再任意取8个连续自然数试试看:比如,取123124125126127128129130

第一、四、六、七个自然数的平方和是

  123212621282129264030

第二、三、五、八个自然数的平方和是

  124212521272130264030

果然得到一个与预想完全一致的等式:

  12321262128212921242125212721302

看来这种情况绝对不是偶然的,一定有内在的规律。下面就让我们来探讨一下:

设,8个连续自然数依次是nn1n2n3n4n5n6n7

先看第一、四两个自然数的平方和:

  n2(n3)2n2(n26n9)

对右端进行一个变换:

  右端=n2(n26n9)n22n12n1n24n42n5

于是

  n2(n3)2(n1)2+(n2)24       ①

把上式中的n换成n4

  (n4)2(n7)2(n5)2+(n6)24

左右两端交换一下:

  (n5)2+(n6)24(n4)2(n7)2     ②

把①、②两式相加,再消去两端的4

    n2(n3)2(n5)2+(n6)2(n1)2+(n2)2(n4)2(n7)2

即,第一、四、六、七个自然数的平方和,等于第二、三、五、八个自然数的平方和。于是,这就证明了,对于任意8个连续自然数,的确存在这种关系。

这就又一次发现了,自然数的一个不可思议的奥秘!

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