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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

再谈勾股数  

2014-11-16 08:34:55|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面,在“勾股定理与勾股数”和“斐波纳契数列与勾股数的关系”两篇文章中,介绍了几种求勾股数的方法。因为勾股定理不仅在数学基础理论中至关重要,而且在社会生活中也有着非常重要的实用价值,所以,勾股数早在公元前一两千年,就已经受到人们的重视。

古希腊数学家毕达哥拉斯(约公元前560~480年),曾经提出过一组求勾股数x,y,z的公式:

  x=n  y=(n2-1)/2  z=(n2+1)/2  (n为大于1的奇数)

例如,取n=3。x=3  y=(32-1)/2=4  z=(32+1)/2=5

而我国早于毕达哥拉斯约600前的商高,就给出了“勾三股四弦五”。

毕达哥拉斯的公式和后来又一位古希腊著名学者柏拉图给出的另一组类似的公式,的确可以求出一些勾股数,但是,他们的公式有一个共同的缺点:都不能求出全部勾股数。例如,8,15,17是一组勾股数,但是,用他们的公式就求不出来。

再后来,古希腊数学家丢番图(约公元250~334年)给出了下面一组求勾股数的公式:

    再谈勾股数 - 老骥 - 周靖国的博客

用这组公式可以求出全部勾股数。下面是用这组公式求出的前几组勾股数:

       a  b  x2+y2=z2

       1  2  32+42=52

       1  8  52+122=132

       2  4  62+82=102

       1  18  72+242=252

       2    9  82+152=172

 3  6  92+122=152

       1  32  92+402=412

       2  16  102+242=262

和丢番图同时代的我国数学家刘徽(约公元225~295年),于公元263年在他的著作《九章算术注》中,给出了下面这组求勾股数的公式:

  x=uv  y=(u2-v2)/2  z=(u2+v2)/2  (u,v同为奇数或偶数,并且u>v)

这是求勾股数的最完美的公式之一。

其实,只要对a2b2c2做一些简单的变换,就能得到一组求股数的公式

           a2b2c2

           c2a2b2

左端分解因式,得

          (ca)(ca)b2

           ca2m2

           ca2n2

其中mn是正整数,并且mn,得

       am2n2        b2mn        cm2n2

例如,取m2n1,就得到a3b4c5

不过,这组公式也不能得到所有的勾股数组,

1945年人们发现了一份古巴比伦人的手稿。据考证,其年代大约在公元前1900年到1600年之间。手稿中列出了15组勾股数:

    序号    勾股数组

1   119120169

2    336734564825

3    460148006649

4   127091350018541

5   657297

6   319360481

7   229127003541

8   7999601249

9   481600769

10   496164808161

11     456075

12     167924002928

13     161240289

14     177127003229

15     5690106

其数之大和年代之早令人难以置信,这或许是一个难以考证的千古之谜。

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