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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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三角形数与《水浒传》  

2014-09-28 08:06:01|  分类: 多彩生活 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面,在“有趣的图形数”一文中谈到,如果把自然数看成是点的集合

3,6,10,……这样能排成三角形的数,就叫做“三角形数”;

像4,9,16,……这样能排成正方形的数,就叫做“正方形数”。

因为3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,……所以,“三角形数”都是从1开始的连续自然数的和。

前面,在“连续自然数的和与平方数”一文中谈到,当自然数n=8,49,288,……时,从1到n连续自然数的和都是平方数,所以,有些从1到n连续自然数的和,既是“三角形数”,又是“正方形数”。

当n=8时,1+2+3+…+8=36,而36=62,所以,36是“三角形数”中第一个“正方形数”;

当n=49时,1+2+3+…+49=1225,而1225=352,所以,1225是三角形数中第二个“正方形数”;

当n=288时,1+2+3+…+288=41616,而41616=2042,所以,41616是“三角形数”中的第三个“正方形数”;

……

下面,我们做一次有趣的试验:

取8个“三角形数”3,再加上1个点,就可以把它们拼成一个正方形:

三角形数与《水浒传》 - 老骥 - 周靖国的博客 

这说明:8个三角形数3,加上1,8×3+1=25=52等于一个“正方形数”25。

事实上,从1开始到n的连续自然数之和,等于n(n+1)/2。而8n(n+1)/2+1=4n2+4n+1=(2n+1)2。即,任意8个相同的“三角形数”,加上1,都等于一个“正方形数”。

这是“三角形数”的一个重要性质。

 

第一个既是“三角形数”,又是“正方形数”的自然数是36。

“三十六”这个数,在我国古代有着非同一般的神秘色彩,甚至它的2倍72和3倍108也都如此。如,三十六天罡,七十二地煞,一百单八妖魔,就出现在“四大名著”之一的《水浒传》里。

《水浒传》第一回“张天师祈禳瘟疫 洪太尉误走妖魔”说到:

宋仁宗嘉佑三年,京师开封瘟疫盛行。仁宗天子钦点内外提点殿前太尉洪信为天使,前往江西信州龙虎山,宣请嗣汉天师张真人来朝,祈禳瘟疫。洪太尉到达龙虎山上清宫后,方知天师已乘鹤驾云往东京去了。遂让住持真人领他到宫中游览。只见一座殿宇殿门紧锁,还贴着十数道封皮,殿名“伏魔之殿”。住持真人说,殿中禁锢着妖魔,故而如此。洪太尉不听劝阻,强行进入,只见中央一个石碑,上书“遇洪而开”,心中大喜,于是命人移开石碑,挖开下面的洞穴。只听一声巨响,从洞中滚出一道黑气,直冲到半天中,散作百十道金光,望四面八方去了。

住持真人见事已至此,只好告知真情。

真人道:

“太尉不知,此殿中当初是祖老天师洞玄真人传下法符,嘱咐道:‘此殿内镇锁着三十六员天罡星,七十二员地煞星,共是一百单八个魔君在里面。上立石碑,凿着龙章凤篆天符,镇住在此。若还放他出世,必恼下方生灵。’如今太尉放他走了,怎生是好?”

这里把水泊梁山一百单八条好汉,说成是“三十六员天罡星,七十二员地煞星,共是一百单八个魔君”,是否恰当姑且不论。36这个三角形数,受到了格外重视,却是毫无疑义的。这也再次说明了一个真理:

数学绝不仅仅是一种计算工具,而是与人们的社会生活,息息相关的一种重要文化资源。

让我们都来对数学刮目相看吧!

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