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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

再谈“有趣的图形数”  

2014-07-13 07:20:40|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面,在“有趣的图形数”一文中,曾经谈到许多图形数。如,“三角形数”、“正方形数”等。类似的还有:能排成五角形的“五角形数”、能排成六角形的“六角形数”等等。

由于图形数非常直观醒目,只需经过简单处理就能看出,在各种图形数之间,存在着许多微妙的关系。这里就来说一说这个问题。

  一、从下图可以看出,相邻的两个“三角形数”,可以组成一个“正方形数”。

     再谈“有趣的图形数” - 老骥 - 周靖国的博客
   如果用Tn表示“三角形数”(Triangle 三角形),用Sn表示“正方形数”(Square 正方形),其中的n表示阶数,上面的图形就能直观地表示出:

      T1+T2=S2  T2+T3=S3  T3+T4=S4  T4+T5=S5  T5+T6=S6

  推而广之,就得到“三角形数”与“正方形数”之间的一种关系:

               Tn-1+Tn=Sn

二、下面是一个“五角

          再谈“有趣的图形数” - 老骥 - 周靖国的博客
  这个五角”可以看成是一个用“●”表示的“三角T4,和一个用“○”表示的“正方形S5拼成(如图):  

          再谈“有趣的图形数” - 老骥 - 周靖国的博客
  如果用P5表示第5个“五角形数”(Pentagon 五角形),于是

          P5T4+S5

推而广之,就得到“五角形数”和“三角形数”与“正方形数”之间的一种关系:

          PnTn-1+Sn

取n=5,根据“三角形数”的计算公式 Tn=n(n+1)/2,“正方形数”的计算公式 Sn=n2,这个“五角形数”就是

     P5=T5-1+S5=T4+S5=4(4+1)/2+52=35

  三、下面是一个“六角

          再谈“有趣的图形数” - 老骥 - 周靖国的博客
  设想把正中间那一竖行5个“○”再重复一次,就可以把这个“六看成是,由两个“正方形S5和减去5形成的。

如果用S5表示第5个“正方形数”,用H5表示第5个“六角形数”(Hexagon 六边形),于是

           H5=2S5-5

推而广之,就得到

             Hn=2S5-n

取n=5,这个“六角形数”就是

       H5=2S5-5=525=45

由此可见,图形数在推导数量关系时,有着非常重要的价值。这正是由于图形数具有直观醒目数形合一的特性,因而便于思考所决定的。

古希腊人并非只对平面上的图形数情有独钟,对空间的图形数也同样进行了深入的研究。如,

他们把“三角形数”一层层重叠起来,就形成了“三角锥形数”(如图):

     再谈“有趣的图形数” - 老骥 - 周靖国的博客
  把“正方形数”一层层重叠起来,就形成了“四角锥形数”(如图): 

     再谈“有趣的图形数” - 老骥 - 周靖国的博客

计算“三角锥形数”就需要求从T1到Tn连续“三角形数”之和;计算“四角锥形数”就需要求从S1到Sn连续“正方形数”之和。

下面就让我们用图形数的方法,来推导一下,“求从T1到Tn连续三角形数之和的公式”:

3个从T1到T4的连续“三角形数”T1、T2、T3、T4,其中一个用“●”表示,另外两个用“○”表示,并作适当的排列,得到一个长方形(如图): 

         再谈“有趣的图形数” - 老骥 - 周靖国的博客
  很明显,这个长方形的长等于1+2+3+4行,宽等于4+2行,即

    3(T1+T2+T3+T4)=(1+2+3+4)(4+2)

推而广之,

    3(T1+T2+T3+…+Tn)=(1+2+3+…+n)(n+2)

因为1+2+3+…+n=n(n+1)/2,所以

    3(T1+T2+T3+…+Tn)=n(n+1)(n+2)/2

于是得到“求从T1到Tn连续三角形数之和的公式”:

    T1+T2+T3+…+Tn=n(n+1)(n+2)/6

如,求T1+T2+T3+…+T10=?

这里,n=10,所以

  T1+T2+T3+…+T10=10(10+1)(10+2)/6=10×11×12/6=220。

验算:

  T1=1,

  T2=1+2=3,

  T3=1+2+3=6,

  T4=1+2+3+4=10,

  T5=1+2+3+4+5=15,

  T6=1+2+3+4+5+6=21,

  T7=1+2+3+4+5+6+7=28,

  T8=1+2+3+4+5+6+7+8=36,

  T9=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,

  T10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55,

     1+3+6+10+15+21+28|36+45+55=220。

完全正确。

而“求从S1到Sn连续正方形之和的公式”,前面在“有趣的图形数”一文中,已经用图形数法得出过:

    12+22+32+…+n2n(n1)(2n1)/6

其实,在我国南宋时期,著名数学家杨辉也曾经用独特的“中国式图形数”方法,得出了这个公式。下面,就让我们重温一下他所使用过的方法:

取3份12个、22个、32个、……、n2个小立方体,分别把它们组成A、B、C那样三个阶梯状的四角锥形,再把它们拼成最右边那样(如图,以n=4为例):

     再谈“有趣的图形数” - 老骥 - 周靖国的博客
  然后,把最上面突出的Tn个小立方体,从水平方向一分为二,再凹凸相对合在一起,正好铺满一层,于是得到一个长方体。这个长方体的底面,长n+1、宽n,而高等于n+1/2,体积是

        n(n+1)(n+1/2)

因为这个立方体是由3份12个、22个、32个、……、n2个小立方体拼成的,所以

    3(12+22+32+…+n2)n(n+1)(n+1/2)

于是得到“求从S1到Sn连续正方形数之和的公式”:

    12+22+32+…+n2n(n+1)(n+1/2)/3=n(n+1)(2n+1)/6

       12+22+32+…+n2n(n+1)(2n+1)/6

这个结果,与希腊人用图形数法得到的公式一模一样。不过,杨辉所用的方法,更直观,更容易理解,真称得上是“奇思妙想”、“精彩绝伦”!我们不能不对先贤的聪明睿智佩服得五体投地,不能不为我国古代数学的光辉成就倍感骄傲!

综上所述,“图形数”无疑是一个永恒的话题,是一座蕴藏着无穷奥秘的启迪智慧的宝库!

让我们怀着一颗赤诚的心,满腔创新的热忱,踏着前人的足迹勇敢地前进吧!



   











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