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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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圆周率是怎样算出来的  

2014-07-27 08:56:24|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面,在“圆周率的故事”一文中曾经谈到,我国古代在圆周率的计算方面所做出的巨大贡献。

早在2000多年前的西汉初年,在我国最古老的数学著作《周髀算经》里,就已经有了“周三径一”的记载。西汉末年,刘歆提出把圆周率定为3.1547。到了东汉,张衡提出把圆周率定为3.1622。但是,这两种建议都因为缺乏科学依据而很少有人采用。一直到了公元263年,三国时期魏国的刘徽创立了“割圆术”,才使圆周率的计算走上了科学的道路。

那么,什么是割圆术呢?原来,刘徽在整理我国古老的数学著作《九章算术》时发现,所谓“周三径一”,实质上是把圆的内接正6边形的周长,作为圆的周长的结果。

请看下图:

           圆周率是怎样算出来的 - 老骥 - 周靖国的博客

当直径为1时,半径是0.5,圆的内接正6边形的边长等于半径,也是0.5,边长是3。所以,如果“圆的内接正6边形的周长作为圆的周长”,圆周长就是3

于是他想到:如果用圆的内接正12边形、24边形、48边形、96边形……的周长作为圆的周长,岂不是更加精确。这就是“割圆术”。用他自己的话说就是:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”但是,因为计算过程随着边数的增加越来越复杂,限于当时的条件,刘徽只计算到圆的内接正96边形,使圆周率精确到两位小数,得到3.14。后来,刘徽又算到圆的内接正3072边形,使圆周率精确到四位小数,得到3.1416,这在当时已经称得上相当精确了。

又过了大约200年,到了南朝的时候,祖冲之更是把“割圆术”推进到圆的内接12288边形,算出圆周率应该在3.14159263.1415927之间,开创了一项世界纪录,比欧洲早了一千多年。这是我们中华民族引以为荣的骄傲!

  现在,就让我们来亲身感受一下,用割圆术计算圆周率的过程:

按照割圆术,在已知圆的内接正6边形的基础上,计算正12边形、24边形、48边形、96边形……的周长,需要解决一个问题:知道了正n边形的边长an,怎样求正2n边形的边长a2n

请看下图:

        圆周率是怎样算出来的 - 老骥 - 周靖国的博客

图中OAOBOCRABanACa2nADDBan/2

根据勾股定理,

  圆周率是怎样算出来的 - 老骥 - 周靖国的博客
圆周率是怎样算出来的 - 老骥 - 周靖国的博客

现在就让我们来当一回21世纪的刘徽,用计算器分别求出上面正多边形的边长,再算出周长,也就是圆周率的值。

   圆周率是怎样算出来的 - 老骥 - 周靖国的博客

  随着数学的发展,人们又陆续发明了另外一些计算圆周率的方法。

1650年英国数学家瓦里斯发现:

    圆周率是怎样算出来的 - 老骥 - 周靖国的博客
  不久,英国皇家学会主席布龙克尔发现:
     圆周率是怎样算出来的 - 老骥 - 周靖国的博客
  1673年德国大数学家莱布尼茨发现:
   圆周率是怎样算出来的 - 老骥 - 周靖国的博客

等等。

现在更是有了一些专门用来计算圆周率的电脑程序,不过,用这类方法计算圆周率,已经变成一种枯燥乏味的机械操作,再也体会不到探索的乐趣和艰辛了。

建议有兴趣的网友,特别是我的亲爱的同行们,不妨从上面选择一两个自己感兴趣的方法,亲手算一算圆周率的近似值,感受一下其中的甘苦,相信你一定会从中得到一种无比快慰的心灵的满足!

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