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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

三谈“有趣的图形数”  

2014-07-20 12:11:23|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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关于“图形数”虽然前面已经谈了不少,但是,感到意犹未尽如鲠在喉,总想一吐为快,只好再罗嗦一番。

这里有一题目:图中有多少个○?

                                    三角形数趣题 - 老骥 - 周靖国的博客
题目看起来简简单单,可是,从中却可以受到来自“图形数”不少乐趣。

解法一:通常,首先想到的是“自上而下逐行相加”的方法:

        (1+3+5+7+9+11)+(9+7+5+3+1)

       =62+52

       =36+25

       =61

可是,如果从“图形数”的角度考虑,就会找到许多新颖巧妙的方法。

解法二:

  把图形像下面这样划分一下,就可以把它看成4个“三角形数”T5的和加1:

                            三角形数趣题 - 老骥 - 周靖国的博客

按照“三角形数”的计算公式:Tn=n(n+1)/2

         5×(5+1)/2×4+1=61

解法三:

  如果把图形成由“○”组成的“正方形数”S6和由“●”组成的“正方形数”S5(如图)
                             三角形数趣题 - 老骥 - 周靖国的博客

按照“正方形数”的计算公式:Sn=n2

             62+52=61

解法四:

  如果在原来图形的四角,各添上一个用“×”组成的“三角形数”T5,整个图形就变成一个“正方形数”S11,而要求的那部分,就是“正方形数”S114个“三角形数”T5的差(如图)

                        三角形数趣题 - 老骥 - 周靖国的博客
按照“正方形数”的计算公式:Sn=n2,和“三角形数”的计算公式:Tn=n(n+1)/2

         112-(5×6)/2×4=61

真是出人意料,一旦想到图形数,竟然会有这么多不同的解法!

现在,让我们来比较一下四种解法的优点和缺点:

初看起来,后几种解法,似乎比自上而下逐行相加”的方法麻烦一些,可是,如果从培养数形结合的思想方法,锻炼观察能力、思考能力、综合运用能力这些方面来考虑,“麻烦一些”也是值得的。

事情到此远未结束更宝贵的是:从后三种图形数解法,还可以推出“三角形数”与“正方形数”之间的两个重要关系

其一:在“解法二”中,是T5表示那个“三角形数”的;在“解法三”中,是用S6表示由“○”组成的“正方形数”,用S5表示由“●”组成的“正方形数”对照这两种解法,就会发现

            4T5+1=S5+S6

推而广之,就得到

            4Tn+1=Sn+Sn+1

其二:在“解法四”中,整个图形是一个正方形数S11其中,由“×”组成的外围部分,是4个“三角形数”T5,即4T5;而从“解法二”可知,这里,由“○”组成的中心部分,是4个同样的“三角形数”T5加1,即4T5+1。于是,

               S11=4T5+(4T5+1)=8T5+1

S11=S2×5+1,即

                  S2×5+18T5+1

推而广之,就得到

                   S2n+18Tn+1

能得到这两个成果,其价值与解一道简简单单的题目相比,简直不可同日而语!

图形数,叫我怎能不爱你!

就此打住,事情也该有个结束的时候了!

 

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