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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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求连续任意次方数之和的公式  

2014-11-02 16:59:18|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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早在古希腊时代,毕达哥拉斯和他的门徒们,通过对图形数的研究,就发现了三角形数的一些重要性质:从1开始的任意个连续自然数的和都是三角形数;并且,任意两个相邻的两个三角形数的和都是平方数。进而,还推出了求连续自然数之和的公式:

1+2+3+…+nn(n+1)/2

求连续平方数之和的公式:

12+22+32++n2n(n+1)(2n+1)/6  (参看拙文“有趣的图形数”)

后来又推出了求连续立方数之和的公式:

13+23+33++n3(1+2+3++n)2[n(n+1)/2]2

可是,此后,希腊数学家进一步想要知道求连续4次方数之和的公式,却无能为力。直到1636年,法国数学家费马才解决了这个问题。不仅如此,费马还解决了求连续任意次方数之和的问题。

下面就来简单介绍一下费马的这个了不起的成就。求连续任意次方数之和的公式 - 老骥 - 周靖国的博客

用这个公式,就能推出“求连续任意次方数之和的公式”。

下面,就让我们先用它推导一下,“求连续平方数之和的公式”:

求连续任意次方数之和的公式 - 老骥 - 周靖国的博客
  再用它来推导一下“求连续立方数之和的公式”:

求连续任意次方数之和的公式 - 老骥 - 周靖国的博客
  依此类推……

可见,只要知道Σr,Σr2,…,Σrm-1,就能推出Σrm

费马真称得上是功德无量。

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