注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

有趣的“平方镜反数”  

2015-01-18 07:40:40|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |

下面是几个自然数的平方数。

  122=144, 212=441;

  132=169, 312=961。

请仔细观察一下,这些自然数和它们的平方数,有什么特别之处?

相信你一定会发现:

(1)12和21是两个数字相同排列顺序相反的数;它们的平方数144和441,也是两个数字相同排列顺序相反的数;

(2)13和31是两个数字相同排列顺序相反的数;它们的平方数169和961,也是两个数字相同排列顺序相反的数。

把一个数的数字排列顺序倒过来,所得到的数,因为有点像从镜子里反射出来的样子,就把它叫做“镜反数”。

对于122=144,212=441来说,21是12的“镜反数”,144是12的平方数,441是144的“镜反数”,也是12的“镜反数”21的平方数。因此,12、21、144、441虽然从表面上看是4个数,而实质上都源于一个数12;

对于132=169,312=961来说,31是13的“镜反数”,169是13的平方数,961是169的“镜反数”,也是13的“镜反数”31的平方数。因此,13、31、169、961虽然从表面上看是4个数,而实质上都源于一个数13。

这种非同寻常的关系,如果用A代表12或13,可以用下面的图形非常清楚地表示出来:

    A→A

    ↓ ↓

    A2→A2

即,A的平方数的“镜反数”,也是A的“镜反数”的平方数。

这句话很拗口,听起来有点像绕口令,却说出了数A的特性。

凡是具有这种特性的数,就叫做“平方镜反数”。

所以,12、13都是“平方镜反数”,当然,21、31也都是“平方镜反数”。

那么,在两位数中,还有这样“平方镜反数”吗?有,就是11、22。不过,这两个“平方镜反数”就更特殊了!不信请看:

11的“镜反数”还是11,11的平方数是121,121“镜反数”还是121。这样就可以说:11的平方数121的“镜反数”121,也是11的“镜反数”11的平方数。完全符合“平方镜反数”的条件。

22的“镜反数”还是22,22的平方数是484,484“镜反数”还是484。这样就可以说:22的平方数484的“镜反数”484,也是22的“镜反数”22的平方数。完全符合“平方镜反数”的要求。

总结一下:两位数的平方镜反数”只有6个:11、12、13、21、22、31。

这是为什么呢?让我们来探个究竟

如果用xy表示两个数字,10x+y就是个两位数,10y+x就是它的镜反数”。显然,x和y都不能是0,因为它们都会出现在十位上

这两个两位数的平方数分别是:

(10x+y)2=100x2+20xy+y2

(10y+x)2=100y2+20xy+x2

现在,我们来分析一下x、y都可以取哪些数字

一、当x=1时,所讨论的两位数在11~19之间,相应的平方数都是三位数。

(10+y)2=100+20y+y2     (1)

(10y+1)2=100y2+20y+1   (2)

(2)式可知,100y2+20y+1的个位数是1,所以,(1)式中100+20y+y2的百位数也必须是1,于是,y不能大于或等于5,否则,20y≧100,100+20y+y2的百位数就不是1了;

并且因为(2)式中的100y2+20y+1是三位数,y是4,否则,100y2=100×42=1600,100y2+20y+12就是位数了。

于是,y只能是1、23,这样就得到3个“平方镜反数”:11、1213

二、当x=2时,所讨论的两位数在21~29之间,相应的平方数也都是三位数。

(20+y)2=400+40y+y2    (3)

(10y+2)2=100y2+40y+4    (4)

由(4)可知,100y2+40y+4的个位数是4,所以(3)式中400+40y+y2的百位数也必须是4y不能等于或大于3,否则,40y≧120,400+40y+y2的百位数就不是4了。

于是,y只能是1或2,这样就得到2个“平方镜反数”:21、22

三、当x=3时,所讨论的两位数在31~39之间。

(30+y)2=900+60y+y2    (5)

(10y+3)2=100y2+60y+9    (6)

由(6)可知,100y2+60y+9的个位数是9,(5)中900+60y+y2的首位数也必须是9,于是,y只能是1,否则,60y120,900+60y+y2的首位数就不是9,这样就得到1个“平方镜反数”31。

概括起来,两位数的“平方镜反数”只有6个:

11、1213、21、22、31

那么,三位数、四位数有没有“平方镜反数”呢?有。

三位数的“平方镜反数”只15个:

101、102、103、111、112、113、121、122、201、202、211、212、221、301、311;

四位数的“平方镜反数”只39个:1001、100210031011101210131021、1022、1031、1101、1102、1103、1111、1112、1113、1121、1122、1201、1202、1211、1212、1301、2001、2002、2011、2012、2021、2022、2101、2102、2111、2121、2201、2202、2211、3001、3011、3101、3111;

位数的“平方镜反数”只有91个:

10001100111001210013101011010210103101111011210113101211100311001110111101211013111011110211103111111111211113111211112211123122021300120001200112001220101201022011220121201222100121011211012110222001220112210130001300113100131011100021000310021100311002210201102021021110212102211012211031110021102111022112011120212002112111200112011120121220112101121021211113011200022002120022202012011120211202212100221021212012111122002221022211130101301113110131111。

回过头来,不禁要问:

一位数,有没有“平方镜反数”呢?

试一下就知道,只有1、2、3合乎要求。

这就是为什么上面提到的“平方镜反数”,都是由1、2、3、0这几个数字组成的原因。至于0,只不过是起了占位的作用而已。

回顾一下,看看不同位数的自然数中,“平方镜反数”所占的百分数:

   N位数  N位数的个数  “平方镜反数”的个数   所占百分数

  一位数      9          3        33%

  两位数      90                  15               17%

    三位数     900          39               4%

  四位数     9000                  91               1%

可见,随着位数的增加,“平方镜反数”所占的份量越来越少。

那么,六位数、七位数、八位数……有没有,有多少“平方镜反数”呢?

自然数,又给我们出了个诱人的题目。

自然数,真是一个充满奇趣的大宝藏!

  评论这张
 
阅读(67)| 评论(0)
推荐 转载

历史上的今天

在LOFTER的更多文章

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2017