前面,在“有趣的图形数”和“求连续自然数立方和的公式”两篇文章中,曾经用图形法和数表法,得到过求连续自然数立方和的公式。下面,再介绍一种更为巧妙的,推导这个公式的方法。
把自然数1,2,3,4,5,……分行排列并求和。排列的规律是,自上而下每行自然数的个数,形成一个奇数列(1个、3个、5个……):
1 =1
2+3+4 =9
5+6+7+8+9 =35
10+11+12+13+14+15+16 =91
……
对和进行一次简单的变换:
1 =13
2+3+4 =13+23
5+6+7+8+9 =23+33
10+11+12+13+14+15+16 =33+43
……
观察发现:
这些等式的左端,是一些连续自然数的和,并且自上而下第几个等式,最后一个数就是几的平方;
这些等式的右端,是一些连续自然数的立方和,并且自上而下第几个等式,就是几减1的立方加几的立方。
于是想到,如果自上而下,把这些等式的左右两端分别加起来:
左端将会得到从1开始的一些连续自然数的和;
右端将会得到从1开始的一些连续自然数的立方和。
进一步仔细观察又发现,加到第几个等式:
左端将是从1开始,连续加到几的平方;
右端将是从1开始,连续加到几的立方的2倍,再减去1个几的立方。
于是,可以列出下面的等式:
1+2+3+…+n2=2(13+23+33+…+n3)-n3
左端是从1开始到n的连续自然数的和。而右端已经出现了从1开始到n的连续自然数的立方和,只要把它解出来就行了。
根据“求连续自然数之和的公式”:1+2+3+…+n2=(1+n2)n2/2,得到:
(1+n2)n2/2=2(13+23+33+…+n3)-n3
两端除以2
(1+n2)n2/4=13+23+33+…+n3-n3/2
把右端的“-n3/2”移到左端
(1+n2)n2/4+n3/2=13+23+33+…+n3
左端通分相加
[(1+n2)n2+2n3]/4=13+23+33+…+n3
左端提出公因数
(1+2n+n2)n2/4=13+23+33+…+n3
根据公式(a+b)2=a2+2ab+b2得到:
(1+n)2n2/4=13+23+33+…+n3
左端化简
[(1+n)n/2]2=13+23+33+…+n3
于是得到,求连续自然数立方和的公式:
13+23+33+…+n3=[(1+n)n/2]2
这里,只用到一些非常基本的代数知识,关键是怎样想到了问题的切入点,以及通过认真仔细的观察,发现规律性的东西。所以说,巧妙的思路、认真的观察、扎实的基础知识和过硬的应用能力,实在是太重要了。
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