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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

求连续自然数立方和的公式还能这样推导  

2015-03-02 20:28:59|  分类: 数学探秘 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面,在“有趣的图形数”和“求连续自然数立方和的公式”两篇文章中,曾经用图形法和数表法,得到过求连续自然数立方和的公式。下面,再介绍一种更为巧妙的,推导这个公式的方法。

把自然数1,2,3,4,5,……分行排列并求和。排列的规律是,自上而下每行自然数的个数,形成一个奇数列(1个、3个、5个……):

         1            =1

       2+3+4          =9

        5+6+7+8+9        =35

  10+11+12+13+14+15+16     =91

        ……

对和进行一次简单的变换:

         1            =13

       2+3+4          =13+23

        5+6+7+8+9        =23+33

  10+11+12+13+14+15+16     =33+43

        ……

观察发现:

这些等式的左端,是一些连续自然数的和,并且自上而下第几个等式,最后一个数就是几的平方;

这些等式的右端,是一些连续自然数的立方和,并且自上而下第几个等式,就是几减1的立方加几的立方。

于是想到,如果自上而下,把这些等式的左右两端分别加起来:

左端将会得到从1开始的一些连续自然数的和;

右端将会得到从1开始的一些连续自然数的立方和。

进一步仔细观察又发现,加到第几个等式:

左端将是从1开始,连续加到几的平方;

右端将是从1开始,连续加到几的立方的2倍,再减去1个几的立方。

于是,可以列出下面的等式:

   1+2+3+…+n2=2(13+23+33+…+n3)-n3

左端是从1开始到n的连续自然数的和。而右端已经出现了从1开始到n的连续自然数的立方和,只要把它解出来就行了。

根据“求连续自然数之和的公式”:1+2+3+…+n2=(1+n2)n2/2,得到:

   (1+n2)n2/2=2(13+23+33+…+n3)-n3

两端除以2

     (1+n2)n2/4=13+23+33+…+n3-n3/2

把右端的“-n3/2”移到左端

     (1+n2)n2/4+n3/2=13+23+33+…+n3

左端通分相加

      [(1+n2)n2+2n3]/4=13+23+33+…+n3

左端提出公因数

     (1+2n+n2)n2/4=13+23+33+…+n3

根据公式(a+b)2=a2+2ab+b2得到:

     (1+n)2n2/4=13+23+33+…+n3

左端化简

     [(1+n)n/2]2=13+23+33+…+n3

于是得到,求连续自然数立方和的公式:

    13+23+33+…+n3=[(1+n)n/2]2

这里,只用到一些非常基本的代数知识,关键是怎样想到了问题的切入点,以及通过认真仔细的观察,发现规律性的东西。所以说,巧妙的思路、认真的观察、扎实的基础知识和过硬的应用能力,实在是太重要了。

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