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周靖国的博客

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杨辉的“三角垛公式”及其妙用  

2015-02-08 08:28:44|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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过去,商人在堆放瓶瓶罐罐这类物品时,为了节省地方,常把它们垒成许多层,俗称“垛”。每层摆成三角形的叫“三角垛”。

 “三角垛”,自上而下,第1层1个,第2层1+2个,第3层1+2+3个,……

13世纪,我国著名数学家杨辉,把他毕生对数学的研究成果,写成《详解九章算法》一书,书中就有一道计算“三角垛”物体总数的题目:

“三角垛,下广,一面一十二个,上尖,问:计几何?答曰:三百六十四个。术曰:下广加一乘之,平积,下广加二乘之,立高方积,如六而一,本法。”

用现在的话说,意思就是:

“有一个三角垛,底层每条边上有12个物体,上面是尖的(只有1个物体),问:总共有多少个物体?答案是:364个。计算方法是:用12加1的和乘12,作为底面的面积,再用12加2作为高来乘,得到一个长方体的体积,取它的6分之1,就是这道题目的解。”

列成算式就是:

     12×(12+1)(12+2)/6=12×13×14÷6=364

推而广之,如果用n表示“三角垛”的层数,也就是底层每条边上物体的个数用N表示物体总数就得到“杨辉三角垛公式”:

      N=n(n+1)(n+2)/6

用这个公式,就能很方便地算出,“三角垛”中物体的总数。

例 一个“三角垛”共10层,总共有物体多少个?

这里,n=10,

     10×(10+1)(10+2)/6=10×11×12=132

总共有物体132个。

如果在摆放物体时,每层摆成正方形,就“正方垛”。

那么,“正方垛”的物体总数,又该怎么计算呢?

下图就是一个“正方垛”。观察发现:可以把它分成两个“三角垛”一个由●组成,一个由○组成,并且,由○组成的“三角垛”,比由●组成的“三角垛”少一层:

             杨辉的“三角垛公式”及其妙用 - 老骥 - 周靖国的博客

如果由●组成“三角垛”的层数为n,由○组成“三角垛”的层数,就是n-1。

根据杨辉的“三角垛公式”,两个“三角垛”的和就是:

   n(n+1)(n+2)/6+(n-1)n(n+1)/6

  =[n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)]/6

  =[n(n2+3n+2)+n(n2-1)]/6

  =[n3+3n2+2n+n3-n]/6

  =[2n3+3n2+n]/6

  =n[2n2+3n+1]/6

    =n(2n+1)(n+1)/6

以上图为例,图中,n=5,所以,●和○的总数是

    5×(2×5+1)×(5+1)/6=5×11×6/6=55

下面,我们把目光直接转向“正方垛”

因为“正方垛”自上而下,第1层12个,第2层22个,第3层32个,……

如果仍然用n表示“正方垛”的层数,也就是底层每条边上物体的个数,就得到“正方垛公式”:

      1+22+32+…+n2=n(2n+1)(n+1)/6

观察发现:这不就是通常所说的,“求连续自然数平方和的公式”嘛!

杨辉的“三角垛公式”,经过一番巧妙的构思和处理,竟然得到了“求连续自然数平方和的公式”,实在有点出乎意料!不由得对先贤杨辉,在数学方面的伟大成就和杰出贡献,产生由衷的敬意

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