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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

怎样判断一个数能否被百以内的质数整除  

2015-01-31 17:12:47|  分类: 数学应用 |  标签: |举报 |字号 订阅

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怎么判断一个数能否被百以内的质数整除

  一、能被百以内质数的数,具备的条件(不唯一)

  除数            被除数应具备的条件

        2    末位数是0、2、4、6、8

        3    数字和能被3整除

        5  末位数是0、5

        7  去掉末位数后,与末位数的2倍之差能被7整除

     11   去掉末三位数后,与末三位数的差能被11整除

     13  去掉末三位数后,与末三位数的差能被13整除

       17  去掉末位数后,与末位数的5倍之差能被17整除

       19  去掉末两位数后,与末两位数的4倍之和能被19整除

       23  去掉末三位数后,与末三位数的2倍之差能被23整除

       29  去掉末三位数后,与末三位数的2倍之差能被29整除

       31  去掉末三位数后,与末三位数的4倍之和能被31整除

       37  去掉末三位数后,与末三位数的和能被37整除

       41  去掉末位数后,与末位数的4倍之差能被41整除

       43  去掉末三位数后,与末三位数的4倍之和能被43整除

       47  去掉末两位数后,与末两位数的8倍之和能被47整除

       53  去掉末两位数后,与末两位数的9倍之差能被53整除

       59  去掉末位数后,与末位数的2倍之差能被59整除

       61  去掉末位数后,与末位数的6倍之差能被61整除

       67  去掉末两位数后,与末两位数的2倍之差能被67整除

       71  去掉末位数后,与末位数的7倍之差能被71整除

       73  去掉末四位数后,与末四位数的差能被73整除

       79  去掉末位数后,与末位数的8倍之和能被79整除

       83  去掉末三位数后的4倍,与末三位数的和能被83整除

       89  去掉末两位数后,与末两位数的8倍之差能被89整除

       97  去掉末两位数后的3倍,与末两位数的和能被97整除

  二、整除条件的用法

  1、除数是2、3、5(略)

  2、除数是7

条件:去掉末位数后,与末位数的2倍之差能被7整除

如 2576

末位数是6,去掉末位数后是257257-6×2=245,245÷7=35,符合条件,2576能被7整除。

  3、除数是11

  条件:去掉末三位数后,与末三位数的差能被11整除

如 8206

末三位数是206,去掉末三位数后是8。206-8=198,198÷11=18,符合条件,8206能被11整除。

  4、除数是13

  条件:去掉末三位数后,与末三位差能被13整除

如 1274

末三位数是274,去掉末三位数后是1。274-1=273,273÷13=21,符合条件,1274能被13整除。

  5、除数是17

  条件:去掉末位数后,与末位数的5倍之差能被17整除

如 4063

末位数是3,去掉末位数后是406。406-3×5=391,391÷17=23,符合条件,4063能被17整除。

  6、除数是19

  条件:去掉末两位数后,与末两位数的4倍之和能被19整除

如 1824

末两位数是24,去掉末两位数后是18。18+24×4=114,114÷19=6,符合条件,1824能被19整除。

  7、除数是23

  条件:去掉末三位数后,与末三位数的2倍之差能被23整除

如 2047

末三位数是047,即47,去掉末三位数后是2。47×2-2=92,92÷23=4,符合条件,2047能被23整除。

  8、除数是29

  条件:去掉末三位数后,与末三位数的2倍之差能被29整除

如2871

末三位数是871,去掉末三位数后是2。871×2-2=1740,1740÷29=60,符合条件,2871能29整除。

  9、除数是31

  条件:去掉末三位数后,与末三位数的4倍之和能被31整除

如 2759

末三位数是759,去掉末三位数后是2。2+759×4=3038,3038比原数2759还大,对3038再进行一次判断。3038末三位数是038,即38,去掉末三位数后是3。3+38×4=155,155÷31=5,符合条件,3038能被29整除,从而2759能被31整除。

  10、除数是37

条件:去掉末三位数后,与末三位数的和能被37整除

如 3219

末三位数是219,去掉末三位数后是3。3+219=222,222÷37=6,符合条件,3219能被37整除。

  11、除数是41

  条件:去掉末位数后,与末位数的4倍之差能被41整除

如 4018

末位数是8,去掉末位数后是401。401-8×4=369,369÷41=9,符合条件,4016能被41整除。

  12、除数是43

  条件:去掉末三位数后,与末三位数的4倍之和能被41整除

如 2752

末三位数是752,去掉末三位数后是2。2+752×430103010比2752还大,对3010再进行一次判断。3010的末三位数是01010,去掉末三位数后是3310×44343÷43=1,符合条件,3010能被43整除,从而2752能被43整除。

  13、除数是47

条件:去掉末两位数后,与末两位数的8倍之和能被47整除

如 4465

末两位数是65,去掉末两位数后是44。44+65×8=564,564÷47=12,符合条件,4465能被47整除。

  14、除数是53

  条件:去掉末两位数后,与末两位数的9倍之差能被53整除

如 5088

末两位数是88,去掉末两位数后是50。88×9-50=742,742÷53=14,符合条件,5088能被53整除。

  15除数是59

条件:去掉末位数后,与末位数的2倍之差能被59整除

如 51684

  末四位数是1684去掉末位数后是51684×2-5=3363,3363÷59=57,符合条件,51684能被59整除。

  16、除数是61

  条件:去掉末位数后,与末位数的6倍之差能被61整除

如 3904

末位数是4,去掉末位数是390。390-4×6=366,366÷61=6,符合条件,3904能被61整除。

  17、除数是67

  条件:去掉末两位数后,与末两位数的2倍之差能被67整除

如 1943

末两位数是43,去掉末两位数是19。43×2-19=67,67÷67=1,符合条件,1943能被67整除。

  18、除数是71

  条件:去掉末位数后,与末位数的7倍之差能被71整除

如 5538

末位数是8,去掉末位数后是553。553-8×7=497,497÷71=7,符合条件,5538能被71整除。

  19、除数是73

  条件:去掉末四位数后,与末四位数的差能被73整除

如 37157

末四位数是7157,去掉末四位数后是3。7157-3=7154,7154÷73=98,符合条件,37157能被73整除。

  20、除数是79

  条件:去掉末位数后,与末位数的8倍之和能被79整除

如 6794

末位数是4,去掉末位数后是679。679+4×8=711,711÷79=9,符合条件,6794能被79整除。

  21、除数是83

  条件:去掉末三位数后的4倍,与末三位数的和能被83整除

如 5727

末三位数是727,去掉末三位数后是5。5×4+727=747,747÷83=9,符合条件,5727能被83整除。  

  22、除数是89

  条件:去掉末两位数后,与末两位数的8倍之差能被89整除

如 7921

末两位数是21,去掉末两位数后是79。21×8-79=89,89÷89=1,符合条件,7921能被89整除。

  23、除数是97

  条件:去掉末两位数后的3倍,与末两位数的和能被97整除

如 9506

末两位数是06,即6,去掉末两位数后是95。95×3+6=291,291÷97=3,符合条件,9506能被97整除。

三、整除条件的道理

  1、除数是2、35 (略)

2、除数是7

条件:去掉末位数后,与末位数的2倍之差能被7整除

设末位数为a,去掉末位数后为b根据条件,b-2a=7cc为整数,b=7c+2a,原数=10b+a10(7c+2a)+a=70c+21a70和21都能被7整除,所以原数能被7整除。

  3、除数是11

   条件:去掉末三位数后,与末三位数的差能被11整除

设末三位数为a,去掉末三位数后为b,根据条件,b-a=11c,b=11c+a,原数1000b+a=1000(11c+a)+a=11000c+1001a,11000和1001都能被11整除,所以原数能被11整除。

  4、除数是13

条件:去掉末三位数后,与末三位数的差能被13整除

设末三位数为a,去掉末三位数后为b,根据条件,b-a=13c,c为整数,b=13c+a,原数1000b+a=1000(13c+a)+a=13000c+1001a13000和1001都能被13整除,所以原数能被13整除。

  5、除数是17

  条件:去掉末位数后,与末位数的5倍之差能被17整除

设末位数为a,去掉末位数后为b,根据条件,b-5a=17c,c为整数,b=17c+5a,原数10b+a=10(17c+5a)+a=170c+51a170和51都能被17整除,所以原数能被17整除。

  6、除数是19

  条件:去掉末两位数后,与末两位数的4倍之和能被19整除

设末两数为a,去掉末位数后为b,根据条件,b+4a=19c,c为整数,b=19c-4a,原数100b+a=100(19c-4a)+a=1900c-399a1900和399都能被19整除,所以原数能被19整除。

  7、除数是23

  条件:去掉末三位数后,与末三位数的2倍之差能被23整除

设末三位数为a,去掉末三位数后为b,根据条件,b-2a=23c,c为整数,b=23c+2a,原数1000b+a=1000(23c+2a)+a=23000c+2001a23000和2001都能被23整除,所以原数能被23整除。

  8、除数是29

  条件:去掉末三位数后,与末三位数的2倍之差能被29整除

设末三位数为a,去掉末三位数后为b,根据条件,b-2a=29c,c为整数,b=29c+2a,原数1000b+a=1000(29c+2a)+a=29000c+2001a29000和2001都能被29整除,所以原数能被29整除。

  9、除数是31

  条件:去掉末三位数后,与末三位数的4倍之和能被31整除

设末三位数为a,去掉末三位数后为b,根据条件,b+4a=31c,c为整数,b=31c-4a,原数1000b+a=1000(31c-4a)+a=31000c-3999a,31000和3999都能被31整除,所以原数能被31整除。

  10、除数是37

  条件:去掉末三位数后,与末三位数的和能被37整除

设末三位数为a,去掉末三位数后为b,根据条件,b+a=37c,c为整数,b=37c-a,原数1000b+a=1000(37c-a)+a=37000c-999a37000和999都能被37整除,所以原数能被37整除。

11、除数是41

条件:去掉末位数后,与末位数的4倍之差能被41整除

设末位数为a,去掉末三位数后为b,根据条件,b4a=41c,c为整数,b=41c4a,原数10b+a=10(41c4a)+a=410c+41a410和41都能被41整除,所以原数能被41整除。

  12、除数是43

条件:去掉末三位数后,与末三位数的4倍之和能被43整除

设末三位数为a,去掉末三位数后为b,根据条件,b+4a=43c,c为整数,b=43c-4a,原数1000b+a=1000(43c-4a)+a=43000c-3999a43000和3999都能被43整除,所以原数能被43整除。

  13、除数是47

  条件:去掉末两位数后,与末两位数的8倍之和能被47整除

设末两数为a,去掉末位数后为b,根据条件,b+8a=47c,c为整数,b=47c-8a,原数100b+a=100(47c-8a)+a=4700c-799a4700和799都能被47整除,所以原数能被47整除。

  14、除数是53

  条件:去掉末两位数后,与末两位数的9倍之差能被53整除

设末两数为a,去掉末位数后为b,根据条件,b-9a=53c,c为整数,b=53c+9a,原数100b+a=100(53c9a)+a=5300c901a5300和901都能被47整除,所以原数能被53整除。

  15、除数是59

  条件:去掉末位数后,与末位数的2倍之差能被59整除

设末数为a,去掉末位数后为b,根据条件,b-2a=59c,c为整数b=59c+2a,原数10000b+a=10000(59c2a)+a=590000c+20001a。59000020001都能被59整除,所以原数能被59整除。

  16、除数是61

  条件:去掉末位数后,与末位数的6倍之差能被61整除

设末位数为a,去掉末三位数后为b,根据条件,b-6a=61c,c为整数,b=61c+6a,原数10b+a=10(61c+6a)+a=610c+61a610和61都能被61整除,所以原数能被61整除。

  17、除数是67

  条件:去掉末两位数后,与末两位数的2倍之差能被67整除

  设末位数为a,去掉末位数后为b,根据条件,b-2a=67c,c为整数,b=67c+2a,原数100b+a=100(67c+2a)+a=6700c+201a6700和201都能被67整除,所以原数能被67整除。

  18、除数是71

  条件:去掉末位数后,与末位数的7倍之差能被71整除

设末位数为a,去掉末位数后为b,根据条件,b-7a=71c,c为整数,b=71c+7a,原数10b+a=10(71c+7a)+a=710c+71a710和71都能被71整除,所以原数能被71整除。

  19、除数是73

  条件:去掉末四位数后,与末四位数的差能被73整除

设末两数为a,去掉末四位数后b,根据条件,b-a=73c,c为整数,b=73c+a,原数10000b+a=10000(73c+a)+a=730000c+10001a730000和10001都能被73整除,所以原数能被73整除。

  20、除数是79

  条件:去掉末位数后,与末位数的8倍之和能被79整除

设末两数为a,去掉末位数后b,根据条件,b+8a=79c,c为整数,b=79c-8a,原数10b+a=10(79c-8a)+a=790c-79a790和79都能被79整除,所以原数能被79整除。

  21、除数是83

  条件:去掉末三位数后的4倍,与末三位数的和能被83整除

设末三位数为a,去掉末三位数后为b,根据条件,4ba=83c,c为整数,b=(83ca)/4,原数1000b+a=1000(83ca)/4+a=20750c-249a20750249都能被83整除,所以原数能被83整除。

  22、除数是89

  条件:去掉末两位数后,与末两位数的8倍之差能被89整除

设末两数为a,去掉末两位数后b,根据条件,b-8a=89c,c为整数,b=89c+8a,原数100b+a=100(89c+8a)+a=8900c+801a8900和801都能被89整除,所以原数能被89整除。

  23、除数是97

  条件:去掉末两位数后的3倍,与末两位数的和能被97整除

设末位数为a,去掉末位数后为b,根据条件,3ba=97cc为整数b=(97c-a)/3,

原数100b+a。由于后面的变换过程比较复杂,改为递等形式:

  原数100b+a

  =100(97ca)/3+a    (b=(97c-a)/3)

  9700c/3100a/3+a

  =9700c/397a/3          (100a=97a+3a)

  =97(100c-a)/3

  =97[(97c-a)+3c]/3      (100c=97c+3c)

  =97[(97c-a)/3+c]

    =97(b+c)        (为b=(97c-a)/3)

因为b+c是整数,所以原数能被97整除

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