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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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一个匪夷所思的结果  

2015-12-07 15:12:01|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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大家都知道,如果直角三角形ABC的各边分别是abc(如图),

               一个匪夷所思的结果 - 老骥 - 周靖国的博客

那么c2a2b2

  这就是勾股定理:直角三角形斜边的平方,等于两直角边的平方和。

让我们改变一下视角:

如果把c2a2b2,看成三个正方形的面积,勾股定理又可以说成:以直角三角形各边为边长作正方形,斜边上正方形的面积,等于两直角边上正方形面积的和。

前面,在“勾股定理与勾股数”一文中谈到,人教版小学数学五年级上册课本,就是从这个角度,让学生初步从直观上接触勾股定理的。

事实上,任何正多边形的面积,都取决于边长的平方。因此,以直角三角形各边为边长,无论作什么正多边形(正三角形、正方形、正五边形、正六边形……),斜边上正多边形的面积,都会等于两直角边上正多边形面积的和。

让我们再把目光转向圆:

圆面积等于πr2,如果把半径r换成直径d,圆面积就等于πd2/4。所以圆面积也取决于直径的平方。于是马上得出:

以直角三角形各边为直径作圆,斜边上圆的面积,等于两直角边上圆面积的和。

当然,还可以说:以直角三角形各边为直径作半圆,斜边上半圆的面积,等于两直角边上半圆面积的和。

下面我们就据此推出一个你意想不到的结果:

以直角三角形ABC各边为直径作半圆,得到两个“弓形”和两个“月牙形”(如图):


一个匪夷所思的结果 - 老骥 - 周靖国的博客

根据“斜边上半圆的面积,等于两直角边上半圆面积的和”,而半圆的面积等于πd2/8,可以列出:

        πc2/8=πa2/8+πb2/8

如果从等式两边,都减去那两个“弓形”的面积,左边剩下的是直角三角形的面积;右边剩下的是两个“月牙形”的面积之和。于是得到:

两个“月牙形”的面积之和,等于直角三角形的面积。

“月牙形”是曲线形,三角形是直线形。曲线形的面积,竟然会等于直线形的面积,从来没有见过,也没有想过,简直是匪夷所思!

原来我们总以为,计算与圆有关的图形的面积,怎么也离不开“π”这个小精灵。这回好了,这个与圆形影不离的家伙,终于没有了用武之地!还有什么比这个更不可思议的呢?

这道题目还有另外一个证明方法,可供参考:

  以直角三角形ABC的各边为直径作半圆,如图:

              一个匪夷所思的结果 - 老骥 - 周靖国的博客

  图中共有5部分:12是月牙形,34是弓形,5是直角三角形。13合起来是以直角边b为直径的半圆;24合起来是以直角边a为直径的半圆;345合起来是以斜边c为直径的半圆。

如果用Sn表示图形n的面积,那么

  S1=π(b/2)2/2S3=πb2/8S3

  S2=π(a/2)2/2S4=πa2/8S4

于是

  S1S2=πb2/8+πa2/8(S3S4

  S3S4=π(c/2)2/2S5=πc2/8S5

所以

  S1S2=πb2/8+πa2/8(πc2/8S5

             =πb2/8+πa2/8-πc2/8S5

       =π(b2a2c2)/8S5

根据勾股定理,a2b2c2,于是,b2a2c20

由此得到

        S1S2S5

即,两个月牙形面积之和,等于直角三角形的面积。

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