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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

两种特殊的三角形数  

2015-05-17 08:21:41|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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这里给网友介绍两种特殊的三角形数:

一、“身兼二职”的三角形数

前文“多边形数”中,在谈到“一些多边形数之间的关系”时,曾经提起过,“8个r阶三角形数与1的和,等于一个2r+1阶正方形数。”

如:

  8P31+1=8×1+1=9=P43

  8P32+1=8×3+1=25=P45

  8P33+1=8×6+1=49=P47

  8P34+1=8×10+1=81=P49

  ……

这就启发我们:

如果有一个平方数X2,它的8倍加1,仍然是一个平方数Y2的话,那么,这个平方数X2,就应该也是一个三角形数。换句话说,X2既是一个正方形数,也是一个三角形数,不就是一个“身兼二职”的数吗?

为了找到这种“身兼二职”的数X2,需要解方程8X2+1=Y2

下面就是这个方程的前5个解,其中就含有,既是三角形数又是正方数的X2

  方程8X2+1=Y2       满足要求的X2   

   8×12+1=32        12=1

   8×62+1=172        62=36

   8×352+1=992       352=1225

  8×2042+1=5772      2042=41616

  8×11892+1=33632     11892=1413721 

满足要求的X2中出现一个数列:1,6,35,204,1189,…

仔细观察这个数列发现:

  35=6×6-1,即,第3项等于第2项的6倍减第1项;

  204=6×35-6,即,第4项等于第3项的6倍减第2项;

  1189=6×204-35,即,第5项等于第4项的6倍减第3项;

规律是:后项等于本项的6倍减前项。

于是,接下去的项应该是:

  6×1189-204=6930;

  6×6930-1189=40391;

  6×40391-6930=235416;

  ……

相应的满足要求的X2是:

  69302=48024900;

  403912=1631432881;

  2354162=55420693056;

    ……

二、一种特殊的“三角形数对”

有一种特殊的“三角形数对”,它们的和也是三角形数,差也是三角形数。这种三角形数对如下表:(括号里是三角形数的最后一个数)

  大三角形数   小三角形数 “和”三角形数 “差”三角形数 

    21(6)       15(5)     36(8)      6(3)

    171(18)        105(14)        276(23)         66(11)

     990(44)        780(39)       1770(59)        210(20)

    3741(86)       2145(65)       5886(108)      1596(56)

 2185095(2090)  1747515(1869)  3932610(2804)   437580(935)

     ……       ……           ……            ……          

上面这两种特殊的三角形数,虽然数值增长得非常快,没有多少实际意义,但是,其中所蕴含的奥秘,无疑会加深我们对自然数的认识,从而提高学习数学的兴趣,这才是最为宝贵的!

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