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周靖国的博客

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多边形数  

2015-05-03 12:25:27|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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多边形数

前面,在“有趣的图形数”和“有趣的图形数(续)”两篇文章中,对古希腊数学家毕达哥拉斯及其门徒,所情有独钟的图形数,进行过一些介绍。这里,再比较详细地谈一谈,图形数中的多边形数。

一、什么是多边形数

如果把自然数看成点的集合,那么,能排成多边形的,就叫做多边形数

二、常见的几种多边形数

常见的多边形数,有三角形数、正方形数、五边形数、六边形数等等。

可以用Pnr表示多边形数,其中n表示边数。如,P3r就表示三角形数P4r就表示正方形数。其中,r表示即第几个这种多边形数。显然,当r=1时,Pn1恒为1个点。

作为特例还可以用P1r表示直线上的r个点

 1.三角形数

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    2、正方形数

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   3、五边形数

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   4、六边形数

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  5、七边形数

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  6、八边形数

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  三、常见的几种多边形数的基本数据

            项次r: 1 2   3   4   5   6  ……     r   

       三角形数P3r     1  3   6  10  15  21  ……  r(r1)/2

      正方形数P4r    1  4   9  16  25  36  ……  r2

      五边形数P5r    1  5  12  22  35  51  ……  r(3r1)2

      六边形数P6r    1  6  16  28  45  66  ……  r(2r1)

      七边形数P7r    1  7  18  34  55  81  ……  r(5r3)2

      八边形数P8r    1  8  21  40  65  96  ……  r(3r2)

表中,对应于“项次r:1 2 3 4 5 6 …… r”的数,分别为Pnr的值。

如,P31=1,P32=3,P33=6,P34=10,P35=15,P36=21,P3rr(r1)/2

四、怎样判断一个自然数是否是多边形数

有一种简单的测试法,可以判断一个自然数是不是多边形数。

只需把这个数乘以8(n-2),再加上(n-4)2,如果得到的结果是一个平方数,那么,这个数就是一个n边形数,否则,就不是。

比如,想知道45是不是一个六边形数。取n=6,因为45×8(6-2)+(6-4)2=45×8×4+22=1440+4=1444,是一个平方数(1444=382),所以,45,是六边形数。

而要想知道一个多边形数的阶数r,可以把(n-4)加到那个平方数的平方根上,再用2(n-2)去除所得的和,就得到阶数r。

仍以上面的题目为例平方根是38,n=6,[38+(6-4)]÷[2(6-2)]=[38+2]÷[2×4]=40÷8=5,于是,r=5,所以,45是第5个六边形数。即,P65=45,与上面的表相吻合。

五、三角形数的判断

三角形数,是最常用的多边形数。有一种极为简便的否定性测试方法,可以用来判断一个数是否是三角形数。

只需求出这个数的数字和,再求出得数的数字和,依反复进行,直到得数是一位数为止。如果得数是2,4,5,7,8,这个数就不是三角数,否则,这个数可能是三角形数,也可能不是三角数,那就需要用上面“四”所说的方法,作进一步判断。

以79为例。7+9=16,1+6=7,得数在2,4,5,7,8之中,所以79不是三角形数。

再以54为例。5+4=9,得数不在2,4,5,7,8之中,所以仍需用上面“四”所说的方法,作进一步判断。

54×8(3-2)+(3-4)2=54×8×1+(1)2=432+1=433,433不是平方数,所以,54不是个三角形数。

再以528为例。5+2+8=15,1+5=6,得数不在2,4,5,7,8之中,所以仍需用上面“四”所说的方法,作进一步判断。

528×8(3-2)+(3-4)2=528×8×1+(1)2=528+1=529,529=232,是一个平方数,所以,528是三角形数。

当一个数被确认为三角形数之后,怎样求出它的项次r呢?很简单:

设这个数为A,先求出8A+1的平方根B,r=(B-1)/2。

就以A=528为例。B=8×528+1=4225,4225的平方根是65,r=(65-1)/2=32,于是,528是三角形数P332

验算:1+2+3+…+32=32(32+1)/2=32×33/2=528。

六、一些多边形数之间的关系

  多边形数之间存在许多微妙的关系,例如

  1、相邻两个三角形数,可以组成一个正方形数(如图):

                                          多边形数 - 老骥 - 周靖国的博客

  即,P3rP3r1P4r1或,r(r1)/2(r1)(r2)/2(r1)2

  2、一个三角形数与一个高一阶的直线形数之和,等于一个高一阶的三角形数(如图):

                                       多边形数 - 老骥 - 周靖国的博客

   即,P3rP1r1P3r1。或,r(r1)/2(r1)(r1)(r2)/2

  3、两个同一阶的三角形数之和,等于一个平行四边形数(如图):

                                多边形数 - 老骥 - 周靖国的博客

  即,2r(r1)/2=r(r1)。

4、1个正方形数,与2个同阶直线形再加1的和,等于一个高一阶的正方形数(如图):

                               多边形数 - 老骥 - 周靖国的博客

  即,P4r2P1r1P4r1或,r22r1(r1)2

5、8个r阶三角形数与1的和,等于一个2r+1阶正方形数(如图):


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  即,8P3r1P42r1。或8r(r1)/21=(2r1)2

  63个r阶三角形数与一个高一阶的直线形数之和,等于一个高一阶的角形数(如图):

                                     多边形数 - 老骥 - 周靖国的博客

   即,3P3rP1r+1P5r1或,3r(r1)/2(r+1)(r+1)(3r+2)/2

  74个r阶三角形数与一个高一阶的直线形数之和,等于一个高一阶的角形数(如图):

           多边形数 - 老骥 - 周靖国的博客

   即,4P3rP1r+1P6r1或,4r(r1)/2(r+1)(r+1)(2r+1)。

  86个r阶三角形数与一个高一阶的直线形数之和,等于一个高一阶的角形数(如图):

                                     多边形数 - 老骥 - 周靖国的博客

        即,6P3rP1r+1P8r1或,6r(r1)/2(r+1)(r+1)(3r+1)。

93个r阶三角形数与一个高一阶的三角形数之和,等于一个2r+1阶的角形数(如图):

                   多边形数 - 老骥 - 周靖国的博客

     即,3P3rP3r+1P32r1或,3r(r1)/2(r+1)(r+2)/2(2r+1)(2r+2)/2。

  1014个2阶三角形数与23三角形数之和,再加1,等于一个10角形数(如图):

                 多边形数 - 老骥 - 周靖国的博客
     即,14P322P33P310或,14×2(2+1)/2+2×3(3+1)/2+1=10(10+1)/2。

  112个r阶三角形数与1高一直线形数之和,等于一个高一正方形数(如图):

                                        多边形数 - 老骥 - 周靖国的博客

    即,2P3rP1r+1P4r+1。或,2r(r+1)/2+(r+1)=(r+1)2

  从上面的介绍可以深切地感受到,多边形数,不仅体现了数形结合的数学思想,而且蕴含了许多饶有兴味的深层次的内容,如能适当地加以运用,无疑在培养学生学习数学的兴趣方面,具有一定的价值。

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