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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

一道很能考验人的题目  

2015-05-31 08:19:06|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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  这里给网友推荐一道,既能考验思维能力,又能锻炼耐性和毅力的题目:

“用12,3,4,5,6,7,8,9这9个数字,组成个数,使其中一个数是另一个数的2倍。”

下面便是这道题的解答过程:

第一步:先做一些简单的分析:

显然,这两个数,只能是一个五位数和一个四位数。于是,可以设这两个数分别是

       Aabcde,Bwxyz,并且,A2B

这里,为了方便,用连写的字母表示多位数。abcde、w、x、y、z分别代表数字1、2、345678、9中的一个

从A是五位数,B是四位数可以想到,A的首位数字a只能是1,即,al

因为A2B,所以A的末位数字e,一定是偶数于是,A12346B6000

因为数字中不包括0所以,如果B的某一位数字是5,那么A的同一位数字就不会是0,而是B的后面那一位,在乘2时进上来的1。但是,已知A的首位数字a=1,所以,A的后四位数字都不是1。这就是说,B不含数字55只能在A里

因为A的首位数字是1,末位数字是偶数,都不是5,所以A的中间三位数字bc、d中,一定有一个是5

第二步:看看数字9会不会在A里

如果A含有9,那么B不含9因而B9000A的千位数字b也就不可能是9只可能是c或d9

假设A的十位数字d9,因为A2B,说明B的个位数字z在乘2的时候,一定有过进位,所以B的十位数字y4。并且推知,B的十位数字y在乘2时,不会进位,于是A的百位数字c是偶数

既然c是偶数,又已设d9,还知道5b、c、d中,就只能是b=5

由此得到,A15c9e,B7x4z。

因为A=2B,从A的千位数5和十位数9,都是奇数说明,B的百位数x和个位数z在乘2时,都有过进位,于是,xz都必须大于或等于5。而5、7、9已有归属所以x和z只能是6和88和6

如果x6z=8,就有e=6。如果x=8z=6,就有c6数字6都会重复出现,不合要求所以d≠9

理可证c≠9

假设A的位数字c9,因为A2B,说明B的十位数字y在乘2的时候,一定有过进位,所以B的位数字x4。当B的位数字42时,不会进位,于是A的千位数字b是偶数

因为b是偶数,又已设c9,而已知5b、c、d中,就只能是d=5

由此得知,A1b95e,Bw47z,说明w和z在乘2时,都有过进位,于是,wz都必须大于5,5、7、9已有归属所以,wz只能是6和88和6

如果w6z=8,e=6。如果w=8z=6,b6数字6都会重复出现,不合要求所以c≠9

总之,数字9不会在A里。这就是说,9只能在B里,并且因为A=2B,所以8一定在A里。

至此,已知:A中含有5、8,a=1,e是偶数。B中含有9。

第三步:看看数字7,会不会在A里

假设7在A里。

前面已知A12346B6000,并且9不在A里。

如果b=8,A=1875e,B=937z,7就会重复。或者A=1857e,B=928z,8就会重复。

如果b=7,A=17cde,B=8yzw,8又在B中重复出现,不合要求。

  如果b=6,A=16cde,B=8yzw,8又在B中重复出现,不合要求。

如果b=5,A=15cde,B=x7zw,7在B中出现,与假设矛盾。

如果b=4,A=14cde,B=7yzw,7在B中出现,与假设矛盾。

如果b=3,A=13758,B=7yzw,7在B中出现,与假设矛盾。或者A=13578,B=6789,7又在B中出现,与假设矛盾。

如果b=2,A=12758,B=6379,7又在B中重复出现,不合要求。或者A=12578,B=6289,8又在B中重复出现,不合要求。

所以,7不在A里,只能在B里。

至此,已知A中含有5、8,a=1,e是偶数。B中含有9、7。

第四步:得到答案:

    A和B的九个数字的和是

      12345678945

45是9的倍数,所以AB是9的倍数

    因为A2B,所以AB=2BB=3B。既然A+B是9的倍数,3B也就是9的倍数,即B是3的倍数由此推出B的各位数之和是3的倍数

B由四个数字组成,其中已知的数字有9和7,还差两个数字。而全部九个数字中,已知1、5、8属于A,9、7属于B,还剩下2、3、4、6,从中挑选两个,只能选2、6或2、3,四个数字的和,才是3的倍数

    当B的数字是9、7、2、6,得到6个解:

      13458÷67292

      13584÷67922

      13854÷69272

      14538÷72692

      15384÷76922

      18534÷92672

  当B的数字是9、7、2、3时,得到另外6个解:

      14586÷72932

  14658÷73292

  15846÷79232

    15864÷79322

    18546÷92732

    18654÷93272

这就是答案的全部12个解。

至此,问题得到圆满解决。

回顾解题的全过程,真称得上是“山重水复疑无路,柳暗花明又一村。”而当最后获得全部答案的时候,不仅使人产生一种酣畅淋漓的感觉。同时,也使自己的推理能力和思维的缜密性,得到一次很好的锻炼。

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