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周靖国的博客

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阿基米德的一道趣题  

2015-08-02 09:52:51|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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网友们对阿基米德这位古希腊数学家和物理学家,一定不会陌生。尤其是他那个洗澡时终于想出了鉴定王冠真假的方法,竟然一丝不挂跑到街上高呼“我知道了”的故事,更是让人想起来就会觉得好笑。

阿基米德非常善于计算几何形体的面积和体积,在这方面做出过许多杰出的贡献。从下面这个题目就可见一斑。

如图,把一个圆的一条直径AB任意分成两段,再以这两条线段为直径分别作圆。那么,怎样计算三个圆之间(阴影部分)的面积呢?

                                    阿基米德的一道趣题 - 老骥 - 周靖国的博客

阿基米德所用的方法非常简单:作垂直于AB的弦CD连接ACBC(如图)

         阿基米德的一道趣题 - 老骥 - 周靖国的博客

只需量出CD的长度t,平方后乘以π,再除以8,就能求出三个圆之间的面积S。即

        S=πt2/8

想不到竟然会如此简单!

下面就让我们试着找找其中的道理:

设大圆的半径为r,两个小圆的半径分别为r1r2

    S=πr2-π(r12r22)          (1)

    2r2r12r2            (2)

ABC是直角三角形。根据“直角三角形斜边上的高,等于斜边被分成的两条线段的比例中项”,可以列出

    (t/2)22r1×2r2           (3)

(2)式两端除以2,再平方,得

     r2=(r1r2)2            (2)

(3)式化简,得

    t2/82r1r2             (3)

(2)(3),因为 (r1r2)2=r122r1r2r22,所以

    r2t2/8r12r22          (4)

(4)(1),得

    S=πr2-π(r2t2/8)=πt2/8

于是,S=πt2/8

原来如此!

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