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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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立方体倍积问题的巧妙解法  

2015-10-07 21:48:41|  分类: 数学珍闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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网友们对几何三大难题之一的“立方倍积问题”一定不陌生。

据说,公元前四百多年,在古希腊的雅典流行了一种很厉害的伤寒病。万分惊惶的雅典人,便向太阳神阿波罗祈祷,怎样才能消弭这场灾难?太阳神指示:要消灾免祸,必须把殿前立方体香案的体积扩大倍。

雅典人听了非常高兴,觉得这个要求很容易办到。于是就把香案的各条棱都扩大了倍,做了个新立方体香案。不料太阳神大为震怒。原来新香案的体积并不是旧香案的两倍,而是旧香案的八倍。

那么,怎样才能把立方体香案的体积正好扩大倍呢?如果设原来香案的棱长为1,新香案的棱长就必须是2的立方根。这个问题如果只用直尺和圆规,是无法解决的。于是,只好去请教久负盛名的大学者柏拉图。

柏拉图果然不负众望,经过深思熟虑,想到了一个非常巧妙的办法:

他先画了两条互相垂直相交于O点的直线m和l,在l上截取线段OC=1;在m上截取线段OD=2。再把两个木匠用的角尺,像下图那样放在上面。在保证两把角尺的一条臂重合,并且可以滑动的前提下,细心、耐心地调整另外两条臂,使两把角尺的直角点A、B,分别在两条直线上,并且另外两条臂分别通过C、D两点(如图):

        立方体倍积问题的巧妙解法 - 老骥 - 周靖国的博客

显然BOC、AOB、DOA是3个相似三角形,对应边成比例。所以

    OC∶OB=OB∶OA,

OC∶OB=OA∶OD。

如果把OB的长度记作x,OA的长度记作y,就得到

    1∶x=x∶y,y=x; (1)

1∶x=y∶2,xy=2。 (2)

把(1)式代入(2)式,得到

        x3=2

于是,x等于2的立方根。

问题得到圆满的解决。

是巧妙至极,叫人佩服得五体投地

柏拉图不愧是一位令人无限景仰的智者先贤!

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