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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

日志

 
 

梦幻花窗  

2016-05-16 05:25:50|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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梦幻花窗

  下图是中国传统建筑中常见的一种六角形花窗图案:

梦幻花窗 - 老骥 - 周靖国的博客

     这花窗格子图案由许多圆圈和直线组成,圆圈共有19个,排列在直线的交叉点上。直线共有3组水平线一组5根从左下往右上的斜线5根从左上往右下的斜线5根共15根直线。

    现在做一个花窗填数游戏:在图中的19个圆圈里,分别填入从l到19的连续整数,使得图中每条直线上各数的和都相等。

这样一来,就在美丽的六角花窗上,添加奇妙的数字特性,玲珑精巧,亦真亦幻,堪称“梦幻花窗”。

    可是,19个数,19个圆圈,哪个数安排到哪个圆圈里,需要开动脑筋,想出办法,找出规律出来。

    设每条直线上各数的和都是S,图中共有5条水平直线,5条线上各数的总和是5S。因为这5条线串起了全部19个圆圈,既没有重复,也没有遗漏,由此得

          5S=1+2+3+…+19=190,

             ∴ S=38。

   初战告捷:已经得出,每条直线上各数的定和为38。

   现在扩大战果,寻找进一步的填数规律。

如图,将19个圆圈里的数分别标注字母。

梦幻花窗 - 老骥 - 周靖国的博客
  字母中含有b的6个数为一组,叫做b组,其中6数之和记为B;

字母中含有c的6个数为一组,叫做c组,其中6数之和记为C;

   字母中含有d的6个数为一组,叫做d组,其中6数之和记为D;

   字母中含有e的6个数为一组,叫做e组,其中6数之和记为E。

    由19个数的总和为190,得

        a+B+C+D+E=190。               ①

    考虑外围大六角形的6条边,每边三数之和为38,得

        2C+D+E=6S=228。                ②

    考虑通过中心的三条直线,得

            3a+B+C=3S=114。                ③

    考虑图中每边有4个圆圈的正三角形(这样的三角形有两个),得

        B+2D=3S=114。                 ④

        B+2E=35=114。                 ⑤

    从④式和⑤式得

           D=E。

    从①式减去③式,然后两边同除以2,并利用D=E,得

        D=E=38+a

将D和E的表达式代人④式和②式,分别得到

        B=38-2a,

        C=76-a。

    捷报频传:只不过从图形上大致看看,很容易就得到这么多有用的关系式。

    现在再从数的角度想想,看看能不能增加些信息。

    在等式B=38-2a中,B是内层小六角形上6个数的和。6个不同正整数的和比38还要小,可见这些数都很小,它们的和最小能小到什么程度呢?

   6个不同正整数之和的最小可能值是

        1+2+3+4+5+6=21。

由此得

        38-2a≥21, 即,2a≤17。

因为a是整数,所以

           a≤8。

   虽然共有19个连续自然数,但是中心的数a只能在l至8中取值,这样就把搜索的包围圈大大紧缩了。

   设外围12个数的和是H,那么

        H=C+D+E=152+a。

   因为l≤a≤8,所以

        153≤H≤160。

   H是l到19中12个不同整数的和,它的最大可能值是

        19+18+17+…+9+8=162。

由此得

        2≤162-H≤9。

   这就表明,外围12个数的和,与它的最大可能值非常接近。

   所以,在试填幻六角形时,可将从8到19这些较大的数先统统放到外层,然后酌情将其中适当的数个别调整为较小的数。调小的幅度在2与9之间,具体幅度视中心数的值而定。在这样的小幅度调整之下,19、18、17这三个最大的数一定是留在外层。

   乘胜追击:用类似的方法继续讨论,可得关系式:

       d1=b4+b5+2a,

       d2=b6+b1+2a,

       d3=b2+b3+2a,

    e1=b3+b4+2a,

    e2=b3+b6+2a,

    e3=b1+b2+2a。

所得的这六个新的关系式,可以帮助确定内层6个数谁跟谁相邻,并由内层相邻二数确定外层与之遥遥相对的那个数。

继续进行更细致的讨论,还能进一步缩小搜索范围,直到将19个圆圈填满,得到下图所示的答案,这样就完成了梦幻花窗的设计。

梦幻花窗 - 老骥 - 周靖国的博客

 在数学上,这个图叫做“六角幻方”。

从以上的讨论可以明显地感到,完成“幻六角形”将是一个繁琐的、需要耐心的过程。

前面,我在博文“幻方的故事”中,曾经对谈到:

1910年,美国一位名叫阿当斯的青年铁路职员,对六角幻方很感兴趣。他用最“笨拙”、最“原始”的方法,把1到19这19个数,写在19块硬纸,一有时间就摆来摆去,进行探索。就这样,日复,年一年,无情的岁月,使他从一位容光焕发的青年,变成了两鬓斑白的老人面对无数次的失败与挫折,阿当斯的兴趣始终不减。终于,皇天不负苦心人,在经历了的47个春秋后的1957年一天,患病在床的阿当斯终于把“六角幻方”排成了他万分惊喜,连忙把它记在一张纸片上没想到的是,当他病愈出院时,那张记录看“六角幻方的纸片,竟然找不到了!顽强的阿当斯并没有因此灰心丧气经过5年苦苦的追索,终于在1962年12月的一天,再次找回了那个丢失的珍宝图形阿当斯这种坚韧不拔、排除万难的精神,为我们树立了光辉的榜样!

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