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周靖国的博客

春蚕到死丝方尽 愿将余生蚕化春蚕

 
 
 

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质数的一些特点  

2017-05-22 12:20:56|  分类: 趣味数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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质数的一些特点

多年来,人们在认识质数的过程中,积累了许多有用的知识。虽然质数不能用一个公式来表达,但是,也不能因此就说质数毫无规律可言。事实上,质数还是很有些规律(也许说成“特点”更合适些)。比如:

(1)大于2的质数只能是奇数。(不能说大于2的奇数都是质数。)

(2)大于5的质数,个位数只能是1、3、7、9。(不能说个位数是1、3、7、9的数都是质数。)

(3)大于3的质数只能是6n-1或者6n+1型(n是正整数)。(不能说6n-1或者6n+1型的数都是质数)。

上面的(1)、(2)很容易理解,对于(3)不妨验证一下100以内质数:

质数5=6-1,n=1。   质数7=6+1,n=1。   质数11=12-1,n=2。

质数13=12+1,n=2。 质数17=18-1,n=3。 质数19=18+1,n=3。

质数23=24-1,n=4。 质数29=30-1,n=5。 质数31=30+1,n=5。

质数37=36+1,n=6。 质数41=42-1,n=7。 质数43=42+1,n=7。

质数47=48-1,n=7。 质数53=54-1,n=9。 质数59=60-1,n=10。

质数61=60+1,n=10。 质数67=66+1,n=11。 质数71=72-1,n=12。

质数73=72+1,n=12。 质数79=78+1,n=13。 质数83=84-1,n=14。

质数89=90-1,n=15。 质数97=96+1,n=16。

关于质数的这些知识,在小学生初学质数的时候,引导他们认识一下,对于提高学习兴趣,还是很有好处的。

另外,还有一个与上面(3)有关的游戏,在这里也介绍一下:

告诉学生:你们每人都任意想一个质数,求出它的平方,再加上28,然后用12除一下得数一定不能整除,并且余数都是5。

学生们肯定不相信,当结果真的如你所说的那样时,他们会感到很奇怪:难道老师真的能未卜先知!

这时,你可以让他们换个质数,求出它的平方,再加上30,然后用12除一下得数。告诉他们:一定还不能整除,并且余数7。

当结果再次如你所说的时候,他们的情绪肯定会进一步高涨,很可能会要求再来一次。当第三次又让你猜对,学生们就会急不可待地请求你告诉他们其中的奥秘。

其实,道理很简单。因为根据(3),质数的平方,不是(6n+1)2=36n2+12n+1,就是(6n-1)2=36n2-12n+1,除以12,余数只能是1你让他们加上去的那个数,除以12余几,再加上1,不就是他们应得的余数了吗?

有兴趣的同行或家长不妨试试。

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